Теория потенциала

В математической физике, теория потенциала — теория решения и изучения свойств дифференциальных уравнений в частных производных в областях с достаточно гладкой границей посредством введения специальных видов интегралов зависящих от определенных параметров, называемых потенциалами.

История

Теория потенциала, в первоначальном понимании — учение о свойствах сил, действующих по закону всемирного тяготения. В формулировке этого закона, данной И. Ньютоном, речь идет только о силах взаимного притяжения, действующих на две материальные частицы малых размеров, или материальные точки, прямо пропорциональные произведению масс этих частиц и обратно пропорциональные квадрату расстояния между частицами. Поэтому первой и важнейшей с точки зрения небесной механики и геодезии задачей было изучение сил притяжения материальной точки ограниченным гладким материальным телом-сфероидом и, в частности, эллипсоидом (ибо многие небесные тела имеют именно эту форму). После первых частных достижений И. Ньютона и других ученых основное значение здесь имели работы Ж. Лагранжа, А. Лежандра и П. Лапласа. Ж. Лагранж установил, что поле сил тяготения, как говорят теперь, — потенциальное, и ввел функцию, которую позже Дж. Грин назвал потенциальной, а К. Гаусс — просто потенциалом. Ныне достижения этого первоначального периода обычно входят в курсы классической небесной механики.

Ещё К. Гаусс и его современники обнаружили, что метод потенциалов применим не только для решения задач теории тяготения, но и вообще для решения широкого круга задач математической физики, в частности электростатики и магнетизма. В связи с этим стали рассматриваться потенциалы не только физически реальных в вопросах взаимного притяжения положительных масс, но и «масс» произвольного знака, или зарядов. В теории потенциала определились основные краевые задачи такие, как задача Дирихле и задача Неймана, электростатическая задача о статическом распределении зарядов на проводниках, или задача Робена, задача о выметании масс. Для решения указанных задач в случае областей с достаточно гладкой границей оказались эффективным средством специальные разновидности потенциалов, то есть специальные виды интегралов, зависящих от параметров, такие, как потенциал объемно распределенных масс, потенциалы простого и двойного слоя, логарифмические потенциалы, потенциалы Грива и другие. Основную роль в создании строгих методов решения основных краевых задач сыграли работы А. М. Ляпунова и В. А. Стеклова в конце XIX века. Изучение свойств потенциалов различных видов приобрело в теории потенциала и самостоятельное значение. Мощный стимул в направлении обобщения основных задач и законченности формулировок теория получила начиная с первой половины XX века на основе использования общих понятий меры в смысле Радона, ёмкости и обобщенных функций. Современная теория потенциала тесно связана в своем развитии с теорией аналитических функций, гармонических функций, субгармонических функций и теорией вероятностей. Наряду с дальнейшим углубленным изучением классических краевых задач и обратных задач для современного периода развития теории потенциала характерно применение методов и понятий современной топологии и функционального анализа, применение абстрактных аксиоматических методов.

Основные виды потенциалов

Логарифмические потенциалы (Двумерные потенциалы)

Основная статья: Логарифмический потенциал

Потенциал площади

На плоскости объёмным логарифмическим потенциалом (или потенциалом площади) называется интеграл вида

$V(M) = \int\limits_D \rho(Q) \ln \frac{1}{R_{QM}}d\sigma_Q$.

Если плотность $\rho(M)$ непрерывна вместе со своими первыми производными, то объёмный потенциал является классическим решением уравнения Пуассона:

${\Delta}V = - {2 \pi \rho}$

Логарифмический потенциал простого слоя

В двумерном случае потенциалом простого слоя называется интеграл:

$V(M) = \int \limits_C \mu(P) \ln \frac{1}{R_{MP}} dl_P$,

где $C$ — некоторая кривая.

Логарифмический потенциал двойного слоя

Потенциалом двойного слоя на плоскости называется интеграл:

$W(M) = - \int\limits_C \nu(P) \frac{\partial}{\partial n_P} \ln \frac{1}{R_{MP}} dl_P$,

где $\mathbf{n}_P$ — внешняя нормаль к кривой $C$ в точке $P$. В случае незамкнутой кривой направление внешней нормали выбирается произвольно.

Трёхмерные потенциалы

Объёмный потенциал

Пусть в ограниченной области $D$ задана функция $\rho(M)$, интеграл

$V(M) = \int\limits_D \frac{\rho(Q)}{R_{QM}}dV$

называется объёмным потенциалом.

Функция $\frac{1}{R_{QM}}$ представляет собой, определённый во всех точках $M \ne Q$ потенциал единичного точечного заряда, сосредоточенного в точке $Q$. Если в области $D$ непрерывно распределён заряд с объёмной плотностью $\rho(M)$, то в силу принципа суперпозиции естественно предполагать, что потенциал, создаваемый данным распределением объёмного заряда, выражается вышеприведённым интегралом. Функция $\rho(M)$ называется плотностью потенциала.

Если плотность $\rho(M)$ непрерывна вместе со своими первыми производными, то объёмный потенциал является классическим решением уравнения Пуассона:

${\Delta}V = - {4 \pi \rho}$

Поверхностные потенциалы

Потенциал простого слоя

Потенциалом простого слоя в трёхмерном случае называется интеграл

$V(M) = \int\limits_S \mu(P) \frac{dS_P}{R_{MP}},$

где $S$ — некоторая поверхность, $\mu(P)$ — функция заданная на поверхности $S$, она называется плотностью потенциала простого слоя.

Свойства:

1. $\Delta V(M) = 0, \forall M \notin S .$
2. $V = O \left( \frac{1}{r} \right), r \rightarrow \infty .$
3. $V \in C(\mathbb{R}^3)$, если $S$ — гладкая поверхность, плотность $\mu(Q)$ — ограничена и непрерывна.
4. Пусть $S$ — замкнутая поверхность Ляпунова, ограничивающая область $D$, $P_0 \in S$, $\mathbf{n}_e (P)$ — внешняя нормаль к поверхности $S$ в точке $P \in S$. Тогда разрыв потенциала при переходе через поверхность $S$ определяется следующими формулами:

$\lim_{\stackrel{M \rightarrow P_0,}{M \in D}} \left(\frac{\partial V}{\partial n_e} \right)(M) = \left(\frac{\partial V}{\partial n_e} \right)(P_0) + 2 \pi \mu (P_0),$

$\lim_{\stackrel{M \rightarrow P_0,}{M \notin D \cup S}} \left(\frac{\partial V}{\partial n_e} \right)(M) = \left(\frac{\partial V}{\partial n_e} \right)(P_0) - 2 \pi \mu (P_0),$

$\lim_{\stackrel{M \rightarrow P_0,}{M \in D}} \left(\frac{\partial V}{\partial n_e} \right)(M) - \lim_{\stackrel{M \rightarrow P_0,}{M \notin D \cup S}} \left(\frac{\partial V}{\partial n_e} \right)(M) = 4 \pi \mu (P_0).$

Потенциал двойного слоя

Потенциалом двойного слоя в трёхмерном случае называется интеграл:

$W(M) = - \int\limits_S \nu(P) \frac{\partial}{\partial n_P} \frac{1}{R_{MP}} dS_P,$

где $S$ — двусторонняя поверхность, $\mathbf{n}_P$ — внешняя нормаль к поверхности $S$ в точке $P$ (в том случае, когда поверхность $S$ незамкнута, внешняя нормаль выбирается произвольно), $\nu(P)$ — функция, заданная на поверхности $S$, она называется плотностью потенциала двойного слоя.

Выражение для потенциала двойного слоя также может быть переписано в виде:

$W(M) = \int\limits_S \nu(P) \frac{\cos \varphi}{R_{MP}^2} dS_P,$

где $\varphi$ — угол между внутренней нормалью к поверхностью $S$ в точке $P$ и вектором $\mathbf{PM}$.

Свойства:

1. $\Delta W(M) = 0, \forall M \notin S .$
2. $W = O \left( \frac{1}{r^2} \right), r \rightarrow \infty .$
3. Пусть $S$ — поверхность Ляпунова. Потенциал двойного слоя с непрерывной и ограниченной плотностью $| \nu(P) | \le C$ на поверхности $S$ существует, то есть является сходящимся несобственным интегралом при $M \in S$.
4. Пусть $S$ — замкнутая поверхность Ляпунова, ограничивающая область $D$, $P_0 \in S$. Тогда разрыв потенциала двойного слоя при переходе через поверхность $S$ определяется следующими формулами:

$\lim_{\stackrel{M \rightarrow P_0,}{M \in D}} W(M) = W(P_0) + 2 \pi \nu (P_0),$

$\lim_{\stackrel{M \rightarrow P_0,}{M \notin D \cup S}} W(M) = W(P_0) - 2 \pi \nu (P_0),$

$\lim_{\stackrel{M \rightarrow P_0,}{M \in D}} W(M) - \lim_{\stackrel{M \rightarrow P_0,}{M \notin D \cup S}} W(M) = 4 \pi \nu (P_0).$

Литература

• Математическая энциклопедия / Виноградов И.М. (ред.). — М.: Сов. энциклопедия, 1977. — Т. 4.
• Свешников А. Г., Боголюбов А. Н., Кравцов В. В. Глава V. Уравнения эллиптического типа. Краевые задачи для уравнения Лапласа. // Лекции по математической физике. — 2-е изд., испр. и доп. — М.: Изд-во МГУ; Наука, 2004. — С. 203. — 416 с. — ISBN 5-211-04899-7
• Тихонов А. Н., Самарский А. А. Глава IV. Уравнения эллиптического типа. // Уравнения математической физики. — 7-е изд. — М.: Изд-во МГУ; Наука, 2004. — С. 348. — 798 с. — ISBN 5-211-04843-1
• Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. — М.: Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5