Проективный модуль

Проекти́вный мо́дуль — одно из основных понятий гомологической алгебры. С точки зрения теории категорий, проективные модули являются частным случаем проективных объектов.

Определение

Модуль $P$ над кольцом $A$ (как правило, считаемым ассоциативным c единичным элементом), называется проективным, если для всякого гомоморфизма $g\colon P\to M$ и эпиморфизма $f\colon N\to M$ существует такой гомоморфизм $h\colon P\to N$, что $g = fh$, то есть данная диаграмма коммутативна:

Простейший пример проективного модуля — свободный модуль $F$. В самом деле, пусть $x_1, x_2, \ldots, x_i,\ldots$ — элементы базиса модуля $F$ и $f(x_i) = y_i$ для некоторых $y$ из $C$. Поскольку $g$ — эпиморфизм, можно найти такие $z_i$, что $g(z_i) = y_i$. Тогда $h$ определяется своими значениями на векторах базиса $x(x_i) = z_i$.

Для колец многочленов от нескольких переменных над полем любой проективный модуль является свободным.

В общем случае это не так, хотя легко доказать теорему о том, что модуль $P$ проективен тогда и только тогда, когда существует такой модуль $K$, что прямая сумма $F = P \oplus K$ свободна. В самом деле, если $P$ есть компонента прямой суммы $F$, которая является свободным модулем, и $g\colon P\to M$ — гомоморфизм, то $fp_1 \colon F\to C$ тоже гомоморфизм ($p_1$ — проекция прямой суммы $F$ на первое слагаемое $P$), а так как проективность свободных модулей нам известна, то существует гомоморфизм $h_1\colon F\to N$, такой, что $gp_1 = fh_1$, отсюда $g p_1 i_1 = f h_1 i_1$, где $i_1$ — гомоморфизм включения $P\to F$, отсюда

$g = fh_1 i_1\colon P\to M$

Обратно, пусть $P$ — проективный модуль. Каждый модуль является гомоморфным образом свободного. Пусть $g\colon F\to P$ — соответствующий эпиморфизм. Тогда тождественный изоморфизм $id\colon P\to P$ будет равен $id = gh$ для некоторого $h\colon P\to F$, так как $P$ проективен. Любой элемент $F$ тогда представим в виде

$x = hg(x) + (x-hg(x)) \in \mathrm{Im}\,h \oplus \mathrm{Ker}\,g$,

где $\mathrm{Im}\,h$ изоморфно $P$.

Свойства

• $P$ проективен тогда и только тогда, когда для любого эпиморфизма $f\colon N\to M$ индуцированный гомоморфизм $f_* \colon Hom(P,N) \to Hom(P,M)$ является эпиморфизмом.
• $P$ проективен тогда и только тогда, когда он переводит любую короткую точную последовательность $0\to A \to B \to C \to 0$ в точную последовательность $0\to Hom(P,A) \to Hom(P,B) \to Hom(P,C) \to 0$.
• Прямая сумма модулей проективна тогда и только тогда, когда проективно каждое слагаемое.

См. также

• Инъективный модуль
• Резольвента (гомологическая алгебра)

Литература

• Картан А., Эйленберг С. Гомологическая алгебра. — М.: ИЛ, 1960
• Маклейн С. Гомология. — М.: Мир, 1966..