0,(9)

0,(9) или 0,999… ($0.\bar{9} , 0.\dot{9}$) («ноль и девять в периоде») — периодическая десятичная дробь, представляющая число 1. Другими словами,

$1=0{,}(9).$

У этого равенства существует несколько доказательств, основанных на теории пределов.

Доказательства

Алгебраические

Деление столбиком

Часто рациональная дробь может быть представлена десятичной только с бесконечным хвостом. Используя деление столбиком, деление двух целых чисел, например ¹⁄₃ приводит к бесконечному 0,333… в десятичной записи, где цифры повторяются бесконечно. Таким образом легко доказывается равенство 0,999… = 1. Умножение 3 на 3 даёт 9 в каждом разряде, поэтому 3 × 0,333… эквивалентно 0,999…. И 3 × ¹⁄₃ эквивалентно 1, поэтому 0,999… = 1^[1].

$1 = 3 \cdot \frac{1}{3} = 3 \cdot 0{,}333\ldots = 0{,}999\ldots = 0{,}(9);$

$1 = 9 \cdot \frac{1}{9} = 9 \cdot 0{,}111\ldots = 0{,}999\ldots = 0{,}(9).$

Манипуляции с цифрами

Когда число в десятичной записи умножается на 10, то цифры не меняются, но каждый разряд передвигается на одну цифру влево. Следовательно, 10 × 0,999… = 9,999…, что на 9 больше, чем исходное число. Чтобы это увидеть, отнимем 0,999… от 9,999…, каждая цифра после запятой исчезает, так как 9 — 9 = 0 для каждого разряда. Последний шаг использует правила алгебры:

$\begin{align} x &= 0{,}999\ldots; \\ 10x &= 9{,}999\ldots; \\ 10x - x &= 9{,}999\ldots - 0{,}999\ldots; \\ 9x &= 9; \\ x &= 1; \\ 0{,}999\ldots &= 1. \end{align}$

Аналитические

Число 0,999… в общем виде можно записать как $b_0.b_1b_2b_3b_4b_5\dots$

Бесконечные последовательности

В соответствии с определением позиционной системы счисления, посчитаем сумму ряда:

$b_0 . b_1 b_2 b_3 b_4 \ldots = b_0 + b_1({\tfrac{1}{10}}) + b_2({\tfrac{1}{10}})^2 + b_3({\tfrac{1}{10}})^3 + b_4({\tfrac{1}{10}})^4 + \cdots .$

Для 0,999… применим теорему о сумме сходящейся геометрической прогрессии^[2]:

Если $|r| < 1$ , то $ar+ar^2+ar^3+\cdots = \frac{ar}{1-r}.$

Радиус сходимости (знаменатель прогрессии) $r=\textstyle\frac{1}{10}$, и таким образом:

$0.999\ldots = 9(\tfrac{1}{10}) + 9({\tfrac{1}{10}})^2 + 9({\tfrac{1}{10}})^3 + \cdots = \frac{9({\tfrac{1}{10}})}{1-{\tfrac{1}{10}}} = 1.\,$

Такое доказательство (об эквивалентности 10 и 9,999…) было опубликовано в 1770 году Леонардом Эйлером в издании Элементы алгебры (англ.)^[3].

Единичные интервалы, (0.3, 0.33, 0.333, …) сходящиеся к 1 (в четверичной системе счисления).

Формула суммы сходящейся геометрической прогрессии была известна до Эйлера. Выпущенный в 1811 году учебник An Introduction to Algebra также использует геометрическую прогрессию для числа 0,(9)^[4]. В XIX веке реакция на такое правило суммирования вылилась в утверждение: сумма ряда должна быть пределом последовательности частичных сумм^[5].

Последовательность (x₀, x₁, x₂, …) имеет предел x тогда и только тогда, когда |x − x_n| бесконечна мала с ростом n. Утверждение 0.999… = 1 может быть интерпретировано как предел^[6]:

$0.999\ldots = \lim_{n\to\infty}0.\underbrace{ 99\ldots9 }_{n} = \lim_{n\to\infty}\sum_{k = 1}^n\frac{9}{10^k} = \lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{10^n}\right) = 1-\lim_{n\to\infty}\frac{1}{10^n} = 1.\,$

Последний шаг $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{10^n} = 0$ — делается на основании того, что вещественные числа удовлетворяют аксиоме Архимеда.

Применение

Существует много применений, например в элементарной теории чисел. В 1802 году H. Goodwin опубликовал наблюдение, обнаруженное им при делении на простые числа. Например:

• ¹/₇ = 0,142857142857… и 142 + 857 = 999.
• ¹/₇₃ = 0,0136986301369863… и 0136 + 9863 = 9999.

Миди в 1836 году обобщил данные наблюдения до теоремы Миди (англ.).

В популярной культуре

Новостная колонка The Straight Dope доказывает 0,999… с помощью ¹⁄₃ и пределов, говоря о непонимании,

Низший примат в нас упирается, говоря: ,999~ на самом деле представляет не число, а процесс. Чтобы найти число мы должны остановить этот процесс. И в этот момент равенство ,999~ = 1 просто разваливается. Чушь.^[7]

Вопрос о 0,999… стал такой популярной темой в первые семь лет форумов Battle.net, что компания выпустила «пресс-релиз» на День дураков 2004 года:

Мы очень рады закрыть книгу на этой теме раз и на всегда. Мы были свидетелями страдания и беспокойства насчёт того, ,999~ равняется 1 или же нет, и мы с гордостью представляем следующее доказательство, решаюшее эту проблему для наших покупателей^[8].

Далее следуют доказательства, основанные на пределах и умножении на 10.

См. также

	0,(9) на Викискладе?

• Неоднозначность представления в виде десятичной дроби
• −0 и +0

Примечания

1. ↑ cf. with the binary version of the same argument in Silvanus P. Thompson, Calculus made easy, St. Martin’s Press, New York, 1998. ISBN 0-312-18548-0.
2. ↑ Rudin p.61, Theorem 3.26; J. Stewart p.706
3. ↑ Euler p.170
4. ↑ Grattan-Guinness p.69; Bonnycastle p.177
5. ↑ For example, J. Stewart p.706, Rudin p.61, Protter and Morrey p.213, Pugh p.180, J.B. Conway p.31
6. ↑ The limit follows, for example, from Rudin p. 57, Theorem 3.20e. For a more direct approach, see also Finney, Weir, Giordano (2001) Thomas' Calculus: Early Transcendentals 10ed, Addison-Wesley, New York. Section 8.1, example 2(a), example 6(b).
7. ↑ Cecil Adams An infinite question: Why doesn't .999~ = 1?. The Straight Dope. Chicago Reader (11 июля 2003). Архивировано из первоисточника 18 февраля 2012. Проверено 6 сентября 2006.
8. ↑ Blizzard Entertainment Announces .999~ (Repeating) = 1. Press Release. Blizzard Entertainment (1 апреля 2004). Архивировано из первоисточника 18 февраля 2012. Проверено 16 ноября 2009.