Тетраэдрические числа

Пирамида с длиной стороны 5 содержит 35 сфер. Каждый слой представляет одно из первых пяти треугольных чисел.

Тетраэдрические числа — это фигурное число, которое представляет пирамиду, в основании которой лежит треугольник.

Пример нескольких первых тетраэдрических чисел:

1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969, … (последовательность A000292 в OEIS)

Формула

Формула для $n$-го тетраэдрического числа:

$T_n=\frac{n(n-1)(n-2)}{6}.$

Также формула может быть выражена через биномиальные коэффициенты:

$T_n=\binom{n-2}{3}.$

Тетраэдрические числа находятся на 4-ой позиции в треугольнике Паскаля.

Свойства

• $n$-е тетраэдрическое число представляет собой сумму первых $n$ треугольных чисел.
• Только три тетраэдрических числа являются квадратными числами:

  T₁ = 1² = 1

  T₂ = 2² = 4

  T₄₈ = 140² = 19600.

• Пять чисел являются треугольными (последовательность A027568 в OEIS):

  Te₁ = Tr₁ = 1

  Te₃ = Tr₄ = 10

  Te₈ = Tr₁₅ = 120

  Te₂₀ = Tr₅₅ = 1540

  Te₃₄ = Tr₁₁₉ = 7140

• Единственным пирамидальным числом, которое одновременно квадратное и кубическое, является число 1.
• Можно заметить, что:

  T₅ = T₄ + T₃ + T₂ + T₁.

• Бесконечная сумма обратных величин к тетраэдрическим числам равна 3/2, что может быть получено с помощью телескопического ряда:

  $\!\ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{6}{n(n+1)(n+2)} = \frac{3}{2}.$

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Tetrahedral Number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Geometric Proof of the Tetrahedral Number Formula by Jim Delany, The Wolfram Demonstrations Project.
• On the relation between double summations and tetrahedral numbers by Marco Ripà