- Функция Грина для случайно-неоднородной среды
-
Главным образом, интерес к вопросу распространения волн в случайно-неоднородных средах (какой является, например, атмосфера) можно объяснить бурным развитием спутниковых технологий. В этом случае становится важной задача расчета характеристик (например, амплитуды) волны прошедшей через среду и установления их связей с параметром неоднородности среды. Важную роль здесь и играет фукция Грина для случайно-неоднородной среды, зная которую можно определить эти характеристики. Рассматривается прохождение света через среду с флуктуирующей диэлектрической проницаемостью.
Содержание
Волновое уравнение в случайно неоднородной среде. Функция Грина.
Рассеяние электромагнитных волн в такой среде определяется системой уравнений Максвелла. Основные отличительные черты рассеяния можно рассматривать для упрощенной модели: скалярного поля . Этим скалярным полем заменяются напряженности электрического и магнитного полей, тогда удовлетворяет волновому уравнению:
- ,
где —скорость света в вакууме, —среднее значение диэлектрической проницаемости, —флуктуации диэлектрической проницаемости. Обратим внимание, что среднее значение диэлектрической проницаемости предполагается не зависящим от координат и времени, то есть в среднем система однородна и изотропна, так же с хорошей точностью в первом приближении можно считать, что и не усредненная диэлектрическая проницаемость не зависит от времени. Это объясняется тем, что характерные времена, отвечающие за молекулярные процессы в системе, на несколько порядком больше характерных времен электромагнитного поля, среда как бы не успевает "среагировать" на изменение поля.
Волновое уравнение с такой диэлектрической проницаемостью на самом деле является примером стохастического уравнения, так как в нем присутствует случайный параметр . Этот параметр входит в уравнение с помощью умножения, то есть мультипликативно, а не с помощью сложения (аддитивно), как в известном уравнении для броуновского движения.
Описывая рассеяние, интересны характеристики поля , усредненные по флуктуациям диэлектрической проницаемости. Эти характеристики: среднее значение поля и интенсивность , которую определяет средний квадрат поля (усреднение так же ведется по флуктуациям диэлектрической проницаемости) . Статистику флуктуаций считаем заданной, а также учитываем, что усредненное отклонение от стреднего значения диэлектрической проницаемости равно нулю:
Начальное однородное волновое уравнение всегда имеет решение в виде .Это очевидное тривиальное решение. Легко показать, что при отсутствии флуктуаций ненулевым решением является плоская монохроматическая волна вида: . Подставим это выражение в волновое уравнение. Получаем: . Отсюда ясно, что предложенное решение будет удовлетворять уравнению, если частота плоской волны и волновой вектор связанны дисперсионным соотношением:
Понятно, что любая линейная комбинация волн, отвечающих дисперсионному соотношению, тоже является решением волнового уравнения в отсутствие флуктуаций диэлектрической проницаемости.
Определим функцию Грина . Пусть эта функция является решением начального волнового уравнения , в правую часть которого добавлен расположенный в начале координат монохроматический источник (частота источника ). Полагаем, что источник "адиабатически включился в бесконечно далеком прошлом", для этого дополним правую часть множителем , где -маленькая положительна величина. В окончательных выражениях будем устремлять её к нулю. Итого функция Грина удовлетворяет уравнению:
Удобно искать решение этого уравнения в виде . Подставляя это выражение в уравнение для функции Грина, получаем:
От двойного дифференцирования экспоненты по времени появится множитель , тогда получаем уравнение на функцию :
Нужно решить это уравнение для некоторой диэлектрической проницаемости а затем усреднить это решение по всевозможным отклонениям . Но оказывается, что нет возможности получить решение этого уравнения при произвольной диэлектрической проницаемости, поэтому решение ищется с использованием теории возмущений, полагая отклонение -малой величиной.
Функция Грина для среды без флуктуаций.
Для начала необходимо найти функцию Грина , отвечающую волновому уравнению без отклонений диэлектрической проницаемоcти, то есть :
(1) .
Снова ищем решение в виде .Тогда удовлетворяет уравнению:
(2) где величиной мы обозначили . Видно, что у присутствует мнимая положительная часть, далее нам это понадобится. Уравнение удобно решать с помощью преобразования Фурье вида:
(3) (4) Выражение —прямое Фурье-преобразование, —Фурье-образ функции , выражение —обратное Фурье-преобразование. Образ функции Грина будем обозначать через . Делая Фурье-преобразования в уравнении и учитывая, что -функция является Фурье-преобразованием от единицы, получаем:
(5) (6) Чтобы получить функцию делаем обратное Фурье-преобразование от :
(7) Будем вычислять этот интеграл в сферической системе координат, выбрав полярную ось вдоль вектора (под полярной осью, понимается ось, от которой отсчитывается угол ) :
Для вычисления интеграла по сферическим координатам, мы воспользовались четностью функции , а также последние интегралы брались по вычетам. Для первого слагаемого контур интегрирования замыкался сверху, в этой полуплоскости затухает , тогда вычет берется в . Для второго слагаемого замыкали контур в нижней полуплоскости, и тогда срабатывает вычет в точке , при этом необходимо не забыть, что контур обходится по часовой стрелке, тогда как в теореме по вычетам используется обход против часовой стрелки. Нарправление обхода можно легко изменить, добавив во втором слагаемом множитель .
Итоговое выражение для функции Грина будет: . Это расходящаяся сферическая волна. Амплитуда этой волны убывает как по мере удаления от источника.
Функция Грина с учетом флуктуаций.
Перепишем уравнение
в виде
Для использования теории возмущения, в которой мы будем считать малой величиной удобнее перейти к интегральному аналогу предыдущего уравнения:
Тогда можно легко написать итерационное решение в виде ряда:
Величина ——случайная величина. В дальнейшем её необходимо усреднять по всевозможным флуктуациям диэлектрической проницаемости. Это представляет собой следующий трудоемкий шаг.
Примечания
Литература
- С. М. Рытов, Ю. А. Кравцов, В. И. Татарский Введение в статистическую радиофизику, ч. 2, Случайные поля. М.: Наука, 1978
- А. Исимару Распространение и рассеяние волн в случайно-неоднородных средах, Т.1, 2. М.:Мир, 1981
Категория:- Статистическая физика
Wikimedia Foundation. 2010.