Фильтр Баттерворта

Линейные электронные фильтры
Фильтр Баттерворта
Фильтр Чебышева
Эллиптический фильтр
Фильтр Бесселя
Фильтр Гаусса
Фильтр Лежандра
Фильтр Габора
Править

Фильтр Баттерво́рта — один из типов электронных фильтров. Фильтры этого класса отличаются от других методом проектирования. Фильтр Баттерворта проектируется так, чтобы его амплитудно-частотная характеристика была максимально гладкой на частотах полосы пропускания.

Подобные фильтры были впервые описаны британским инженером Стефаном Баттервортом (англ.)русск. в статье «О теории фильтрующих усилителей» (англ. On the Theory of Filter Amplifiers), в журнале Wireless Engineer в 1930 году.

Обзор

АЧХ фильтра Баттерворта максимально гладкая на частотах полосы пропускания и снижается практически до нуля на частотах полосы подавления. При отображении частотного отклика фильтра Баттерворта на логарифмической АФЧХ, амплитуда снижается к минус бесконечности на частотах полосы подавления. В случае фильтра первого порядка АЧХ затухает со скоростью −6 децибел на октаву (-20 децибел на декаду) (на самом деле все фильтры первого порядка независимо от типа идентичны и имеют одинаковый частотный отклик). Для фильтра Баттерворта второго порядка АЧХ затухает на −12 дБ на октаву, для фильтра третьего порядка — на −18 дБ и так далее. АЧХ фильтра Баттерворта — монотонно убывающая функция частоты. Фильтр Баттерворта — единственный из фильтров, сохраняющий форму АЧХ для более высоких порядков (за исключением более крутого спада характеристики на полосе подавления) тогда как многие другие разновидности фильтров (фильтр Бесселя, фильтр Чебышева, эллиптический фильтр) имеют различные формы АЧХ при различных порядках.

В сравнении с фильтрами Чебышева I и II типов или эллиптическим фильтром, фильтр Баттерворта имеет более пологий спад характеристики и поэтому должен иметь больший порядок (что более трудно в реализации) для того, чтобы обеспечить нужные характеристики на частотах полосы подавления. Однако фильтр Баттерворта имеет более линейную фазо-частотную характеристику на частотах полосы пропускания.

ЛАЧХ для фильтров Баттерворта нижних частот порядка от 1 до 5. Наклон характерстики — 20n дБ/декаду, где n — порядок фильтра.

Как и для всех фильтров при рассмотрении частотных характеристик используют фильтр нижних частот, из которого легко можно получить фильтр высоких частот, а, включив несколько таких фильтров последовательно, — полосовой фильтр или режекторный фильтр.

Амплитудно-частотная характеристика $G(\omega) \!$ фильтра Баттерворта $n \!$-го порядка может быть получена из передаточной функции $H(s) \!$:

$G^2(\omega)=\left |H(j\omega)\right|^2 = \frac {G_0^2}{1+\left(\frac{\omega}{\omega_c}\right)^{2n}}$

где

• $n \!$ — порядок фильтра
• $\omega_c \!$ — частота среза (частота на которой амплитуда равна −3dB)
• $G_0 \!$ — коэффициент усиления по постоянной составляющей (усиление на нулевой частоте)

Легко заметить, что для бесконечных значений $n \!$ АЧХ становится прямоугольной функцией, и частоты ниже частоты среза будут пропускаться с коэффициентом усиления $G_0 \!$, а частоты выше частоты среза будут полностью подавляться. Для конечных значений $n \!$ спад характеристики будет пологим.

С помощью формальной замены $s=+j\omega \!$ представим выражение $H(s)H(-s) \!$ в виде $|H(\omega)|^2 \!$:

$H(s)H(-s) = \frac {G_0^2}{1+\left (\frac{-s^2}{\omega_c^2}\right)^n}$

Полюсы передаточной функции расположены на круге радиуса $\omega_c \!$ равноудалённо друг от друга в левой полуплоскости. То есть передаточную функцию фильтра Баттерворта можно определить лишь определением полюсов его передаточной функции в левой полуплоскости s-плоскости. $k \!$-й полюс определяется из следующего выражения:

$-\frac{s_k^2}{\omega_c^2} = (-1)^{\frac{2k-1}{n}} = e^{\frac{j(2k-1)\pi}{n}} \qquad\mathrm{k = 1,2,3, \ldots, n}$

откуда

$s_k = \omega_c e^{\frac{j(2k+n-1)\pi}{2n}}\qquad\mathrm{k = 1,2,3, \ldots, n}$

Передаточную функцию можно записать в виде:

$H(s)=\frac{G_0}{\prod_{k=1}^n (s-s_k/\omega_c)}$

Аналогичные рассуждения применимы и к цифровым фильтрам Баттерворта, с той лишь разницей, что соотношения записываются не для s-плоскости, а для z-плоскости.

Знаменатель этой передаточной функции называется полиномом Баттерворта.

Нормированные полиномы Баттерворта

Полиномы Баттерворта могут записываться в комплексной форме, как показано выше, однако обычно они записываются в виде соотношений с вещественными коэффициентами (комплексно-сопряжённые пары объединяются с помощью умножения). Нормируются полиномы по частоте среза: $\omega_c=1 \!$. Нормированные полиномы Баттерворта, таким образом, имеют следующую каноническую форму:

$B_n(s)=\prod_{k=1}^{\frac{n}{2}} \left[s^2-2s\cos\left(\frac{2k+n-1}{2n}\,\pi\right)+1\right]$, $n \!$ — чётно

$B_n(s)=(s+1)\prod_{k=1}^{\frac{n-1}{2}} \left[s^2-2s\cos\left(\frac{2k+n-1}{2n}\,\pi\right)+1\right]$, $n \!$ — нечётно

Ниже представлены коэффициенты полиномов Баттерворта для первых восьми порядков:

$n \!$ Коэффициенты полиномов $B_n(s) \!$ 1 $(s+1) \!$ 2 $\! s^2+1.41421s+1$ 3 $\! (s+1)(s^2+s+1)$ 4 $\! (s^2+0.76537s+1)(s^2+1.84776s+1)$ 5 $\! (s+1)(s^2+0.61803s+1)(s^2+1.61803s+1)$ 6 $\! (s^2+0.51764s+1)(s^2+1.41421s+1)(s^2+1.93185s+1)$ 7 $\! (s+1)(s^2+0.44504s+1)(s^2+1.24698s+1)(s^2+1.80194s+1)$ 8 $\! (s^2+0.39018s+1)(s^2+1.11114s+1)(s^2+1.66294s+1)(s^2+1.96157s+1)$

Максимальная гладкость

Приняв $\! \omega_c=1$ и $\! G_0=1$, производная амплитудной характеристики по частоте будет выглядеть следующим образом:

$\frac{dG}{d\omega}=-nG^3\omega^{2n-1} \!$

Она монотонно убывает для всех $\omega \!$ так как коэффициент усиления всегда положителен. Таким образом, АЧХ фильтра Баттерворта не имеет пульсаций. При разложении амплитудной характеристи в ряд, получим:

$G(\omega)=1 - \frac{1}{2}\omega^{2n}+\frac{3}{8}\omega^{4n}+\ldots$

Другими словами, все производные амплитудно-частотной характерситики по частоте до 2n-й равны нулю, из чего следует «максимальная гладкость».

Спад характеристики на высоких частотах

Приняв $\omega_c=1\!$, найдём наклон логарифма АЧХ на высоких частотах:

$\lim_{\omega\rightarrow\infty}\frac{d\log(G)}{d\log(\omega)}=-n$

В децибелах высокочастотная асимптота имеет наклон −20n дБ/декаду.

Проектирование фильтра

Существует ряд различных топологий фильтра, с помощью которых реализуются линейные аналоговые фильтры. Эти схемы отличаются только значениями элементов, структура же остаётся неизменной.

Топология Кауэра

Топология Кауэра использует пассивные элементы (ёмкости и индуктивности)^[1]. Фильтр Баттеворта с заданной передаточной функцией может быть построен в форме Кауэра 1 типа. k-й элемент фильтра задаётся соотношением:

$C_k = 2 \sin \left [\frac {(2k-1)}{2n} \pi \right ]$; k нечётно

$L_k = 2 \sin \left [\frac {(2k-1)}{2n} \pi \right ]$; k чётно

Топология Саллена — Кея

Основная статья: Фильтр Саллена — Кея

Топология Саллена-Кея использует помимо пассивных также и активные элементы (операционные усилители). Каждый каскад схемы Саллена-Кея представляет собой часть фильтра, математически описываемую парой комплексно-сопряжённых полюсов. Весь фильтр получается последовательным соединением всех каскадов. В случае, если попадается действительный полюс, он должен быть реализован отдельно, обычно в виде RC-цепочки, и включён в общую схему.

Передаточная функция каждого каскада в схеме Саллена-Кея имеет вид:

$H(s)=\frac{1}{1+C_2(R_1+R_2)s+C_1C_2R_1R_2s^2}$

Нужно, чтобы знаменатель представлял собой один из множителей полинома Баттерворта. Приняв $\omega_c=1 \!$, получим:

$\! C_1C_2R_1R_2=1\,$

и

$C_2(R_1+R_2)=2\cos\left(\frac{2k+n-1}{2n}\right)$

Последнее соотношение даёт две неизвестных, которые могут быть выбраны произвольно.

Сравнение с другими линейными фильтрами

Рисунок ниже показывает АЧХ фильтра Баттерворта в сравнении с другими популярными линейными фильтрами одинакового (пятого) порядка:

Из рисунка видно, что спад АЧХ фильтра Баттерворта самый медленный из четырёх, однако он имеет и самую гладкую АЧХ на частотах полосы пропускания.

Пример

Аналоговый фильтр Баттерворта нижних частот (топология Кауэра) с частотой среза $\omega_c = 1 \!$ со следующими номиналами элементов: $C_2=4/3 \!$ фарад, $R_4=1 \!$ ом, $L_1=1/2 \!$ и $L_3=3/2 \!$ генри.

Логарифмический график плотности передаточной функции H(s) на плоскости комплексного аргумента для фильтра Баттерворта третьего порядка с частотой среза $\omega_c = 1 \!$. Три полюса лежат на круге единичного радиуса в левой полуплоскости.

Рассмотрим аналоговый низкочастотный фильтр Баттерворта третьего порядка с $C_2=4/3 \!$ фарад, $R_4=1 \!$ ом, $L_1=1/2 \!$ и $L_3=3/2 \!$ генри. Обозначив полное сопротивление ёмкостей C как 1/Cs и полное сопротивление индуктивностей L как Ls, где $s=\sigma+j\omega \!$ — комплексная переменная, и используя уравнения для расчёта электрических схем, получим следующую передаточную функцию для такого фильтра:

$H(s)=\frac{V_o(s)}{V_i(s)}=\frac{1}{1+2s+2s^2+s^3}$

АЧХ $G(\omega) \!$ задаётся уравнением:

$G^2(\omega)=|H(j\omega)|^2=\frac{1}{1+\omega^6}\,$

а ФЧХ задаётся уравнением:

$\Phi(\omega)=\arg(H(j\omega))\,$

Групповая задержка определяется как минус производная фазы по круговой частоте и является мерой искажений сигнала по фазе на различных частотах. Логарифмическая АЧХ $\log_{10}(G) \!$ такого фильтра не имеет пульсаций ни в полосе пропускания, ни в полосе подавления.

График модуля передаточной функции на комплексной плоскости ясно указывает на три полюса в левой полуплоскости. Передаточная функция полностью определяется расположением этих полюсов на единичном круге симметрично относительно действительной оси.

Заменив каждую индуктивность ёмкостью, а ёмкости — индуктивностями, получим высокочастотный фильтр Баттерворта.

$\log_{10}(G) \!$ и групповая задержка фильтра Баттерворта третьего порядка с частотой среза $\omega_c = 1 \!$

См. также

• Электронный фильтр
• Цифровая обработка сигналов
• Цифровая обработка изображений

Литература

• В.А. Лукас Теория автоматического управления. — M.: Недра, 1990.
• Б.Х. Кривицкий Справочник по теоретическим основам радиоэлектроники. — М.: Энергия, 1977.
• Miroslav D. Lutovac Filter Design for Signal Processing using MATLAB© and Mathematica©. — New Jersey, USA.: Prentice Hall, 2001. — ISBN 0-201-36130-2
• Richard W. Daniels Approximation Methods for Electronic Filter Design. — New York: McGraw-Hill, 1974. — ISBN 0-07-015308-6
• Steven W. Smith The Scientist and Engineer’s Guide to Digital Signal Processing. — Second Edition. — San-Diego: California Technical Publishing, 1999. — ISBN 0-9660176-4-1
• Britton C. Rorabaugh Approximation Methods for Electronic Filter Design. — New York: McGraw-Hill, 1999. — ISBN 0-07-054004-7
• B. Widrow, S.D. Stearns Adaptive Signal Processing. — Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1985. — ISBN 0-13-004029-0
• S. Haykin Adaptive Filter Theory. — 4rd Edition. — Paramus, NJ: Prentice-Hall, 2001. — ISBN 0-13-090126-1
• Michael L. Honig, David G. Messerschmitt Adaptive Filters — Structures, Algorithms, and Applications. — Hingham, MA: Kluwer Academic Publishers, 1984. — ISBN 0-89838-163-0
• J.D. Markel, A.H. Gray, Jr. Linear Prediction of Speech. — New York: Springer-Verlag, 1982. — ISBN 0-387-07563-1
• L.R. Rabiner, R.W. Schafer Digital Processing of Speech Signals. — Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1978. — ISBN 0-13-213603-1
• Richard J. Higgins Digital Signal Processing in VLSI. — Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1990. — ISBN 0-13-212887-X
• A. V. Oppenheim, R. W. Schafer Digital Signal Processing. — Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1975. — ISBN 0-13-214635-5
• L. R. Rabiner, B. Gold Theory and Application of Digital Signal Processing. — Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1986. — ISBN 0-13-914101-4
• John G. Proakis, Dimitris G. Manolakis Introduction to Digital Signal Processing. — Paramus, NJ: Prentice-Hall, 1988. — ISBN 0-02-396815-X

Ссылки

1. ↑ http://www.falstad.com/circuit/ Circuit. Passive Filters. Butterworth Low-Pass (10 pole)

• Расчет фильтра Баттерворта с примерами
• The Scientist and Engineer’s Guide to Digital Signal Processing (англ.)
• Фильтры нижних частот
• Использование фильтра Баттерворта в синтезе систем управления
• Расчёт рекурсивных фильтров
• Классификация фильтров
• Circuits. Passiv Filters. Butterworth Low-Pass (10 pole)