Корень Бринга

Проверить информацию. Необходимо проверить точность фактов и достоверность сведений, изложенных в этой статье. На странице обсуждения должны быть пояснения.

В алгебре корень Бринга или ультрарадикал — это аналитическая функция $Br(a)$, такая что для вещественных $a$ $Br(a)$ есть (единственный, в силу монотонности) вещественный корень многочлена $x^5+x+a$. В силу теоремы единственности из ТФКП, для всех комплексных $a$

$Br(a)^5+Br(a)+a=0$

Разрез на комплексной плоскости проходит вдоль вещественной полуоси $x\leqslant -1$.

Жерар (англ.) показал, что все уравнения 5-й степени могут быть решены в радикалах и корнях Бринга, которые были введены Брингом (англ.).

Нормальная форма Бринга — Жерара

Если

$x^5+a_1x^4+a_2x^3+a_3x^2+a_4x+a_5=0$

тогда, если

$y = x^4+b_1x^3+b_2x^2+b_3x+b_4,$

мы можем получить полином 5-й степени от $y$, сделав преобразование Чирнгауза, например, используя результант для исключения $x$. Мы можем затем подобрать конкретные значения коэффициентов $b_i$ для того, чтобы получить полином от $y$ в форме

$y^5 + py + q$

Эта неполная форма, открытая Брингом и переоткрытая Жераром, называется нормальной формой Бринга — Жерара. Метод «в лоб» при попытке приведения к нормальной форме Бринга — Жерара не срабатывает; нужно делать это шаг за шагом, применяя несколько преобразований Чирнхауса, которые современные системы аналитических вычислений делают довольно легко.

В начале, подставляя $x-a_1/5$ вместо $x$, избавляемся от члена с $x^4$. Затем, применяя идею Чирнхауса для исключения и члена $x^3$, введём переменную $y = x^2+px+q$ и найдём такие $p$ и $q$, чтобы в результате коэффициенты при $x^3$ и $x^4$ стали равны 0. Конкретнее, подстановки $q = \frac{2c}{5}$ и

$p = {\sqrt{5c(3c^2-10d)} \over 5c}$

исключают члены третьей и четвёртой степени одновременно из

$x^5 + cx^3 + dx^2 + ex + f$

Следующим шагом делаем подстановку

$y = x^4+b_1x^3+b_2x^2+b_3x+b_4$

в форму

$x^5 + dx^2+ex+f$

и исключаем также член второй степени, в процессе чего не потребуется решения уравнений степени выше 3. При этом выражения для $b_1, b_2$ и $b_4$ содержат квадратные корни, а в выражении для $b_3$ присутствует корень третьей степени.

Общий вид сравнительно легко вычислить с помощью компьютерных систем типа Maple или Mathematica, но он слишком громоздкий, поэтому лучше опишем метод, который затем может быть применён в конкретном случае. В любом частном случае можно составить систему из трёх уравнений для коэффициентов $b_i$ и решить её. Одно из решений, полученных таким образом, будет включать корни многочленов не выше третьей степени; рассмотрев затем результант с вычисленными коэффициентами, сведём уравнение к форме Бринга — Жерара. Корни первоначального уравнения выражаются через корни полученного уравнения.

Рассматриваемые как алгебраическая функция, решения уравнения

$x^5+ux+v = 0$

зависят от двух параметров, $u$ и $v$, однако заменой переменной можно видоизменить уравнение так, чтобы неизвестная была функцией уже только одного параметра. Так, если положить

$z = {x \over (-u/5)^{1/4}}$

придём к форме

$x^5 - 5x - 4t = 0$

которая содержит $x$ как алгебраическую функцию одного комплексного, вообще говоря, параметра $t$.

Корни Бринга

Как функции комплексной переменной t, корни x уравнения

$x^5 - 5x - 4t = 0\,$

имеют точки ветвления, где дискриминант 800 000(t⁴ - 1) обращается в ноль, то есть в точках 1, −1, а также i и -i. Монодромия вокруг любой из точек ветвления обменивает две из них, оставляя одну на месте. Для вещественных значений t, больших или равных −1, наибольшый вещественный корень есть функция от t, монотонно возрастающая от 1; назовём эту функцию корень Бринга, BR(t). Выбирая ветвь, обрезанную вдоль вещественной оси от $-\infty$ до −1, мы можем продолжить корень Бринга на всю комплексную плоскость, устанавливая значения вдоль ветви так, чтобы получалось аналитическое продолжение вдоль верхней полуплоскости.

Конкретно, положим $a_0 = 3, a_1 = {1\over100}, a_2 = -{27\over400\,000}, a_3 = {549\over800\,000\,000}$, и последовательность a_i определим рекуррентно

$a_{n+4} = -{\frac {185\,193}{5\,278\,000}}\,{\frac {2\,n+5}{n+4}}a_{n+3}$

$-{\frac {9\,747}{ 52\,780\,000}}\,{\frac {10\,{n}^{2}+40\,n+39}{ \left( n+4 \right) \left( n+3 \right) }}a_{n+2}$

$-{\frac {57}{52\,780\,000}}\,{\frac { \left( 2\,n+3 \right) \left( 10\,{n}^{2}+30\,n+17 \right) }{ \left( n+4 \right) \left( n+3 \right) \left( n+2 \right) }}a_{n+1}$

$-{\frac {1}{6\,597\,500\,000}}\,{\frac { \left( 5\,n+11 \right) \left( 5\,n+7 \right) \left( 5\,n+3 \right) \left( 5\,n-1 \right) }{ \left( n+4 \right) \left( n+3 \right) \left( n+2 \right) \left( n+1 \right) }}a_n.$

Для комплексных значений t таких, что |t - 57| < 58, получим

$\operatorname{BR}(t) = \sum_{n=0}^\infty a_n (t-57)^n,\,$

что можно аналитически продолжить, о чём было уже упомянуто.

Корни x⁵ — 5x — 4t = 0 можно теперь выразить в терминах корнях Бринга таким образом:

$r_n = i^{-n} \operatorname{BR}(i^n t)$

для n от 0 до 3, и

$r_4 = -r_0-r_1-r_2-r_3$

для пятого корня.

Решение общего уравнения пятой степени

Мы можем теперь выразить корни полинома

$x^5 + px +q\,$

в терминах радикалов Бринга как

$\left(-\frac{p}{4}\right)^\frac{1}{4}\operatorname{BR}\left(\frac{(-5/p)^\frac{5}{4} q}{4}\right)$

и его четыре комплексных сопряжения.

Итак, у нас есть сведение к форме Бринга-Жеррара в терминах разрешимых полиномиальных уравнений, при этом используются полиномиальные преобразования, включающие выражения в корнях не выше четвёртой степени. Это значит, что преобразования могут быть обращены нахождением корней многочлена, выраженных в радикалах. Эта процедура порождает лишние решения, но если отсечь их численными методами, то получим выражение для корней уравнения пятой степени через квадратные, кубические корни и радикалы Бринга, что т.о. будет алгебраическим решением в терминах алгебраических функций одной переменной - алгебраическим решением общего уравнения пятой степени.

Другие свойства

Много других свойств корней Бринга было получено, первые были сформулированы в терминах модулярных эллиптических функций Шарлем Эрмитом в 1858.

Вывод Глассера

По М. Л. Глассеру (см. ссылку внизу) можно найти решение любого полиномиального уравнения из трёх слагаемых вида:

$x^N - x + t$

В частности, произвольное уравнение пятой степени может быть сведено к такой форме с помощью преобразований Чирнхауса, показанных выше. Возьмём $x = \zeta^{-1/(N-1)}$, где общая форма:

$\zeta = e^{2\pi i} + t\phi(\zeta),$

а

$\phi(\zeta) = \zeta^{N/(N-1)}$

Формула Лагранжа показывает, что любая аналитическая функция f в окрестности корня преобразованного общего уравнения относительно ζ может быть выражена в виде бесконечного ряда:

$f(\zeta) = f(e^{2\pi i}) + \sum^\infty_{n=1} \frac{t^n}{n!}\frac{d^{n-1}}{da^{n-1}}[f'(a)|\phi(a)|^n]_{a = e^{2\pi i}}$

Если мы положим $f(\zeta) = \zeta^{-1/(N-1)}$ в этой формуле, то сможем получить корень:

$x_1 = \exp(-2\pi i/(N -1)) - \frac{t}{N-1}\sum^\infty_{n=0}\frac{(te^{2\pi i/(N-1)})^n}{\Gamma(n + 2)}\frac{\Gamma(\frac{Nn}{N-1} + 1)}{\Gamma(\frac{n}{N-1} + 1)}$

Следующие N-2 корня могут быть найдены заменой $\exp(-2\pi i / (N -1))$ на другие корни (N-1)-й степени из единицы, а последний корень - из теоремы Виета (например, используя тот факт, что сумма всех корней многочлена трёхчленной формы, приведённой выше, равна 1). С помощью теоремы произведения Гаусса (Gauss' Multiplication Theorem (англ.)) вышеуказанный бесконечный ряд может быть разбит в конечную сумму гипергеометрических функций:

$\psi(q) = (\frac{\omega t}{N-1})^q n^{qN/(N-1)}\frac{\prod^{N-1}_{k=0}\Gamma(\frac{Nq/(N-1) + 1 + k}{N})}{\Gamma(\frac{q}{N-1} + 1)\prod^{N-2}_{k=0}\Gamma(\frac{q+k+2}{N-1})}$

$x_1 = \omega^{-1} - \frac{t}{(N-1)^2}\sqrt{\frac{N}{2\pi(N-1)}}\sum^{N-2}_{q=0}\psi(q)_{N+1}F_N \begin{bmatrix} \frac{qN/(N-1)+1}{N}, \ldots, \frac{qN/(N-1) + N}{N}, 1; \\ \frac{q+2}{N-1}, \ldots, \frac{q+N}{N-1}, \frac{q}{N-1}+1; \\ (\frac{t\omega}{N-1})^{N-1}N^N) \end{bmatrix}$

где $\omega = \exp(2\pi i/(N-1))$. Корни уравнения тогда можно представить как сумму самое большее N-1 гипергеометрических функций. Применяя этот метод к редуцированной форме Бринга-Жеррара, определим следующие функции:

$\begin{matrix} F_1(t) & = & F_2(t)\\ F_2(t) & = & \,_4F_3(1/5, & 2/5, & 3/5, & 4/5; & 1/2, & 3/4, & 5/4; & 3125t^4/256)\\ F_3(t) & = & \,_4F_3(9/20, & 13/20, & 17/20, & 21/20; & 3/4, & 5/4, & 3/2; & 3125t^4/256)\\ F_4(t) & = & \,_4F_3(7/10, & 9/10 , & 11/10, & 13/10; & 5/4, & 3/2, & 7/4; & 3125t^4/256) \end{matrix}$

которые суть гипергеометрические функции, присутстсвующие в рядах выше. Корни уравнения пятой степени тогда:

$\begin{matrix} x_1 & = & -t^4F_1(t) \\ x_2 & = & -F_1(t) & + \frac{1}{4}tF_2(t) & + \frac{5}{32}t^2F_3(t) & + \frac{5}{32}t^3F_3(t)\\ x_3 & = & -F_1(t) & + \frac{1}{4}tF_2(t) & - \frac{5}{32}t^2F_3(t) & + \frac{5}{32}t^3F_3(t)\\ x_4 & = & -iF_1(t) & + \frac{1}{4}tF_2(t) & - \frac{5}{32}it^2F_3(t) & - \frac{5}{32}t^3F_3(t)\\ x_5 & = & iF_1(t) & + \frac{1}{4}tF_2(t) & + \frac{5}{32}it^2F_3(t) & - \frac{5}{32}t^3F_3(t)\\ \end{matrix}$

Это по существу тот же результат, что был получен методом дифференциальной резольвенты, разработанным Джеймсом Коклом (англ.) и Робертом Харлеем в 1860 году.

См. также

• Теория уравнений (англ.)

Внешние ссылки

• M.L. Glasser. The Quadratic Formula Made Hard: A Less Radical Approach to Solving Equations. Статья доступна на arXiv.org здесь