Фундаментальный класс

Фундаментальным классом называется гомологический класс ориентированного многообразия, который соответствует «целому многообразию». Интуитивно фундаментальный класс можно себе представить как сумму симплексов максимальной размерности подходящей триангуляции многообразия.

Фундаментальный класс многообразия $M$ обычно обозначается $[M]$.

Определение

Замкнутое ориентируемое многообразие

Если многообразие $M$ размерности $n$ является связным ориентируемым и замкнутым, то $n$-ая группа гомологий является бесконечной циклической: $H_n(M,\mathbf{Z}) \cong \mathbf{Z}$. При этом ориентация многообразия определяется выбором порождающего элемента группы или изоморфизма $\mathbf{Z} \to H_n(M,\mathbf{Z})$. Порождающий элемент называется фундаментальным классом.

Формально несвязному ориентируему многообразию $M=\cup_i M_i$ в качестве фундаментального класса можно сопоставить сумму $\sum [M_i]$ фундаментальных классов всех его связных компонент $M_i$. Однако, этот элемент не является порождающим группы $H_n(M,\mathbf{Z})=\oplus H_n(M_i,\mathbf{Z})=\mathbf{Z}\oplus\dots \oplus\mathbf{Z}$.

Неориентируемое многообразие

Для неориентируемого многообразия группа $H_n(M;\mathbf{Z})=0$, если при этом M является связным и замкнутым, то $H_n(M;\mathbf{Z}_2)=\mathbf{Z}_2$. Порождающий элемент группы $H_n(M;\mathbf{Z}_2)$ называется фундаментальным классом неориентируемого многообразия M.

$\mathbf{Z}_2$-фундаментальный класс многообразия используется при определении чисел Штифеля — Уитни.

Многообразие с краем

Если M является компактным ориентируемым многообразием с краем $\partial M$, то n-я относительная группа гомологий является бесконечной циклической: $H_n(M,\partial M)\cong \mathbf{Z}$. Порождающий элемент группы $H_n(M,\partial M)$ называется фундаментальным классом многообразия с краем.

Двойственность Пуанкаре

Главный результат гомологической теории многообразий составляет двойственность Пуанкаре между группами гомологий и когомологий многообразия. Соответствующий изоморфизм Пуанкаре $D: H^k(M;\mathbf{Z}) \to H_{n-k}(M;\mathbf{Z})$ (для ориентируемого) и $D: H^k(M;\mathbf{Z}_2) \to H_{n-k}(M;\mathbf{Z}_2)$ (для неориентируемого) многообразия определяется соответствующим фундаментальным классом многообразия:

$D(\alpha)=[M]\frown\alpha$,

где $\frown$ обозначает $\frown$-умножение гомологических и когомологических классов.

Степень отображения

Если $M$, $N$ — связные замкнутые ориентированные многообразия одной размерности, и $f:M\to N$ — непрерывное отображение, то

$f_*[M]=k[N]$,

где $k$ — некоторое целое число. Это число называется степенью отображения $f$ и обозначается deg f.

Литература

• А.Т. Фоменко, Д.Б. Фукс. Курс гомотопической топологии — М: Наука, 1989.
• А. Дольд Лекции по алгебраической топологии — М: Мир, 1976.