Теорема Шпильрайна

Теорема Шпильрайна — одна из центральных теорем теории упорядоченных множеств, впервые сформулированная и доказанная польским математиком Эдвардом Шпильрайном в 1930 году.

Формулировка

Любое отношение частичного порядка $\leqslant$, заданное на некотором множестве $~X$, может быть продолжено до отношения линейного порядка.

Доказательство

Доказательство теоремы основано на применении аксиомы выбора (леммы Куратовского — Цорна).

Обобщения и усиления

Теорема Душника — Миллера

Бен Душник и Б. У. Миллер доказали, что каждое отношение частичного порядка является пересечением содержащих его отношений линейного порядка.

Случай групп

Обобщения теоремы Шпильрайна на случай, когда отношения частичного порядка и продолжающие их отношения линейного порядка, согласованы с алгебраическими операциями групп, колец и других алгебраических систем, на которых заданы эти отношения, рассматривались венгерским математиком Ласло Фуксом. В частности, теорема Фукса гласит, что частичный порядок $\leqslant$ группы $~G$ тогда и только тогда может быть продолжен до линейного порядка группы $~G$, когда он удовлетворяет следующему условию:

для каждого конечного множества элементов $~a_1,\;\ldots,\;a_n$ в $~G$ ($a_i\neq e$) можно так подобрать знаки $~\varepsilon_1,\;\ldots,\;\varepsilon_n$ ($~\varepsilon_i=1$ или $~\varepsilon_i=-1$), что

$P\cap S(a_1^{\varepsilon_1},\;\ldots,\;a_n^{\varepsilon_n})=\varnothing.$

Здесь

$~S(a_1,\;\ldots,\;a_n)$ — инвариантная подполугруппа, порожденная элементами $~a_1,\;\ldots,\;a_n$,

$~P=\{x\in G\mid0\leqslant x\}$ — положительный конус отношения $\leqslant$.

Частичный порядок абелевой группы может быть продолжен до линейного тогда и только тогда, когда она без кручения, то есть все её элементы, кроме нейтрального бесконечного порядка.

Теорема Душника — Миллера в этом случае обобщается следующим образом: частичный порядок $\leqslant$ группы $~G$ тогда и только является пересечением линейных порядков, когда из $a\notin P$ следует, что для каждого конечного множества элементов $~a_1,\;\ldots,\;a_n$ в $~G$ ($a_i\neq e$) существуют такие подходящие знаки $~\varepsilon_1,\;\ldots,\;\varepsilon_n$ ($~\varepsilon_i=1$ или $~\varepsilon_i=-1$), что

$P\cap S(a,\;a_1^{\varepsilon_1},\;\ldots,\;a_n^{\varepsilon_n})=\varnothing.$

Частичный порядок абелевой группы является пересечением линейных порядков тогда и только тогда, когда $\leqslant$ изолирован, то есть из $a^n\geqslant e$ для некоторого натурального числа $n$ следует $a\geqslant e$.

Случай векторных пространств

Любое отношение частичного порядка, заданное на векторном пространстве и согласованное с его структурой, может быть продолжено до согласованного отношения линейного порядка.

Ссылки

• Шпильрайн, Е. (1930), "«Sur l'extension de l'ordre partiel»", Fundamenta Mathematicae Т. 16: 386–389, ISSN 0016-2736, <http://matwbn.icm.edu.pl/tresc.php?wyd=1&tom=16> .
• Dushnik, Ben & Miller, E. W. (1941), "«Частично упорядоченные множества»", American Journal of Mathematics Т. 63 (3): 600-610, MR0004862, ISSN 0002-9327, doi:10.2307/2371374, <http://www.jstor.org/stable/2371374> .
• Фукс Л. Частично упорядоченные алгебраические системы. — М.: Мир, 1965. — 342 с.

См. также

• Частично упорядоченное множество