Функции Йоста

Функции Йоста (решения Йоста, англ. Jost functions, англ. Jost solutions) — решения одномерного уравнения Шрёдингера для спадающего на бесконечности потенциала.

Математическое определение

Постановка задачи

Рассматривается одномерный оператор Шрёдингера вида

$H = - \frac{\mathrm d^2}{\mathrm d x^2} + u(x),\quad x \in \mathbb R,$

где потенциал $u(x)$ определен на множестве действительных чисел как функция, принадлежащая к классу локально интегрируемых. Соответствующая задача нахождения собственных чисел $\lambda=k^2$ будет иметь вид^[1]

$-\psi(x)'' + u(x)\psi(x) = k^2\psi(x).$

Определение

Наложим на потенциал условие в виде

$\int\limits_{-\infty}^\infty (1+|x|)|u(x)|\mathrm dx < \infty,$

означающее, что функция $u(x)$ спадает при $|x|\to\infty$ быстрее, чем 1/x². Это означает, что для действительных k существуют решения одномерного уравнения Шрёдингера, однозначно определяемые асимптотиками на бесконечности

$f_1(x,k) = e^{-ikx} +o(1),\quad x\to-\infty,$

$f_1(x,k) = e^{ikx} +o(1),\quad x\to\infty,$

называемые решениями Йоста^[1] в честь швейцарского физика Реса Йоста (англ.)русск..^[2] В общем случае (так же и для комплексных k) можно показать, что при заданном выше условии на $u(x)$, существует четыре решения одномерного уравнения Шрёдингера, удовлетворяющие интегральным уравнениям

$f_1(x,k) = e^{-ikx} - \int\limits_{-\infty}^x \frac{\sin k(\xi-x)}{k} u(\xi)f_1(\xi,k)\mathrm d\xi,$

$\overline{f_1}(x,k) = e^{-ikx} - \int\limits_{-\infty}^x \frac{\sin k(\xi-x)}{k} u(\xi)\overline{f_1}(\xi,k)\mathrm d\xi,$

$f_2(x,k) = e^{ikx} + \int\limits_x^\infty \frac{\sin k(\xi-x)}{k} u(\xi)f_2(\xi,k)\mathrm d\xi,$

$\overline{f_2}(x,k) = e^{ikx} + \int\limits_x^\infty \frac{\sin k(\xi-x)}{k} u(\xi)\overline{f_2}(\xi,k)\mathrm d\xi,$

где черта сверху означает комплексное сопряжение. При этом сами функции и их производные по x непрерывны по k при $\mathrm Im\, k \ge 0$ и аналитичны при $\mathrm Im\, k > 0$ и эти решения единственные.^[3] Уравнения для функций Йоста можно получить непосредственно из граничных условий и уравнения Шрёдингера с помощью функции Грина в виде

$G(x,\xi, k) = \left\lbrace \begin{array}{ll} \frac{\sin k(\xi - x)}{k}, & \xi < x\\ 0,& \xi > x\end{array} \right.,$

или непосредственной подстановкой.^[4]

Использование

Функции Йоста применяются в задачах рассеяния и теории солитонов.^[5][6]

См. также

Примечания

1. ↑ ^{1 2} Takhtadzhian, 2008, p. 155
2. ↑ Scheck, 2007, p. 157
3. ↑ Додд и др., 1988, с. 125—127
4. ↑ Новокшенов, 2002, с. 42—43
5. ↑ Takhtadzhian, 2008, pp. 136—139
6. ↑ Новокшенов, 2002, с. 41—46

Литература

1. Додд, Р., Эйлбек, Дж., Гиббон, Дж., Моррис, X. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. — М.: Мир, 1988. — 694 с.
2. Новокшенов, В. Ю. Введение в теорию солитонов. — Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. — 96 с. — ISBN 5-93972-100-1
3. Slavianinov, S. Iu. Asymptotic solutions of the one-dimensional Schrödinger equation. — American Mathematical Soc., 1996. — Vol. 151. — 190 p. — (Translations of mathematical monographs, Lectures in Applied Mathematics). — ISBN 9780821805367
4. Scheck, F. Quantum physics. — Springer, 2007. — 738 p. — ISBN 9783540256458
5. Takhtadzhian, L. A. Quantum mechanics for mathematicians. — American Mathematical Soc., 2008. — Vol. 95. — 387 p. — (Graduate studies in mathematics). — ISBN 9780821846308

Ссылки