Проблема 196

Стиль этой статьи неэнциклопедичен или нарушает нормы русского языка. Статью следует исправить согласно стилистическим правилам Википедии.

Проблема 196 — условное название нерешённой математической задачи: неизвестно, приведёт ли операция «перевернуть и сложить», применённая к числу 196 какое-то количество раз, к палиндрому — числу, читающемуся с конца так же, как с начала.

Число Лишрел (англ. Lychrel number) — это натуральное число, которое не может стать палиндромом с помощью итеративного процесса «перевернуть и сложить» в десятичной системе счисления. Этот процесс называется 196-алгоритмом. Название «Lychrel», придуманное Wade VanLandingham, — примерная анаграмма имени его подруги — Шерил (англ. Cheryl). Строго доказанных чисел Лишрел не существует, но многие номера подозреваются, причём наименьшее из них — 196.

Перевернуть и сложить

«Перевернуть и сложить» (англ. Reverse-Then-Add) — название операции, выполняемой над числом. Суть заключается в сложении исходного десятичного числа с его перевёрнутой копией (числом, записанным с конца). Например, 56 + 65 = 121, 521 + 125 = 646.

Некоторые числа (в частности, все однозначные и двузначные числа) становятся палиндромами достаточно быстро — после нескольких применений операции, и поэтому не являются числами Лишрел. Около 80 % всех чисел, меньших 10000, разрешаются в палиндром в 4 или меньше шагов. Около 90 % — за 7 и меньше шагов.

Вот несколько примеров чисел не-Лишрел:

• 56 становится палиндромом после одной итерации: 56 + 65 = 121.
• 57 становится палиндромом после двух итераций: 57 + 75 = 132, 132 + 231 = 363.
• 59 не Лишрел, поскольку оно становится палиндромом после 3 итераций: 59 + 95 = 154, 154 + 451 = 605, 605 + 506 = 1111
• 89 проходит необычно много — 24 итерации (наибольшее кол-во для чисел менее 10000, которые точно разрешаются в палиндром) прежде, чем достичь палиндрома 8813200023188.
• 10 911 достигает палиндрома 4668731596684224866951378664 после 55 шагов.
• 1.186.060.307.891.929.990 проходит 261 итерацию и становится 119-циферным палиндромом

44562665878976437622437848976653870388884783662598425855963436955852489526638748888307835667984873422673467987856626544. Это число является в настоящее время мировым рекордом (наиболее отложенным палиндромом). Оно было найдено Джейсоном Дусеттом с помощью компьютера 30 ноября 2005 года.

Первое известное число, начиная с 0, которое, видимо, не образует палиндром, — трёхзначное число 196. Это наименьший номер кандидата Lychrel.

Открытая проблема

В других основаниях для некоторых чисел может быть доказано, что они не образуют никогда палиндром после последовательных итераций^{[1] [2]}, но не было обнаружено таких доказательств для 196 и других десятичных чисел.

Это гипотеза что 196 и другие числа, которые пока ещё не стали палиндромом, являются числами Лишрел, но ни для одного числа нет строгого доказательства, что оно Лишрел. Подобные числа неофициально называют «кандидаты в числа Лишрел». Первые несколько кандидатов в Лишрел последовательность A023108 в OEIS:

196, 295, 394, 493, 592, 689, 691, 788, 790, 879, 887, 978, 986, 1495, 1497, 1585, 1587, 1675, 1677, 1765, 1767, 1855, 1857, 1945, 1947, 1997.

Выделенные жирным считаются базовыми числами Лишрел (см. ниже). Компьютерные программы Джейсона Дусетта, Яна Петерса и Бенджамина Деспреса нашли другие кандидаты Лишрел. Более того, Бенджамин Деспрес выявил все базовые числа Лишрел, состоящие из менее, чем 17 цифр.^[3] Сайт Wade VanLandingham содержит списки базовых чисел Лишрел для каждой длины числа.^[4]

Метод грубой силы, первоначально разработанный Джоном Уокером, был усовершенствован, чтобы использовать поведение при итерациях. Например, Vaughn Suite разработал программу, которая сохраняет только первые и последние несколько цифр каждой итерации, позволяя тестировать цифровые закономерности на протяжении миллионов итераций без необходимости сохранения каждой всей итерации в файл.^[5] Но пока не было придумано алгоритма, который бы обходил итеративный процесс.

Связанные определения

Термин нить или поток (англ. thread) придумал Джейсон Дусетт, обозначая так последовательность чисел, получаемых в результате итераций первоначального числа. Базовое число (англ. seed) и его связанные родственные (англ. kin) числа сходятся в одном потоке. Поток не включает исходное базовое число или его родственника, но только числа, которые являются общими для обоих, после того, как они сойдутся.

Базовые числа представляют собой подпоследовательность чисел Лишрел, то есть наименьшее число из каждого не производящего палиндром потока. Базовое число может быть само по себе палиндромом. Первые три примера выделены полужирным шрифтом в приведённом выше списке.

Родственные числа представляют собой подмножество чисел Лишрел, которые включают все числа потока, за исключением базового, или любое число, которое вольётся в данный поток после одной итерации. Этот термин был представлен Кодзи Ямаcитой в 1997 году.

Квест 196

Поскольку 196 (по основанию 10) является наименьшим кандидатом в числа Лишрел, оно получило наибольшее внимание.

Джон Уокер (англ.) начал квест, посвящённый изучению потока «196», 12 августа 1987 года на рабочей станции Sun 3/260. Он написал программу на C, которая выполняет итерации «перевернуть и сложить» и проверяет на палиндром после каждого шага. Программа была запущена в фоновом режиме с низким приоритетом. Она сбрасывала контрольные точки в файл каждые два часа и в момент закрытия системы, записывая достигнутые к тому времени число и номер итерации. Она перезапускалась сама автоматически из последней контрольной точки после каждого включения компьютера. Она работала в течение почти трёх лет, а затем остановилась (как было запрограммировано) 24 мая 1990 года с сообщением:

Достигнута точка остановки на проходе 2.415.836. Число содержит 1.000.000 цифр. Оригинальный текст  (англ.)   Stop point reached on pass 2,415,836. Number contains 1,000,000 digits.

196 увеличилось до числа в один миллион разрядов после 2.415.836 итераций без достижения палиндрома. Уокер опубликовал свои выводы в Интернет вместе с последней контрольной точкой, приглашая других возобновить поиски на основе последнего достигнутого числа.

В 1995 году Тим Ирвин использовал суперкомпьютер и достиг отметки в два миллиона цифр всего за три месяца, опять не найдя палиндрома. Джейсон Дусетт затем последовал их примеру и достиг 12,5 миллионов цифр в мае 2000 года. Wade VanLandingham, используя программу Джейсона Дусетта, достиг 13 миллионов цифр, что было опубликовано^[6] в Yes Mag — канадском научном журнале для детей. С июня 2000 года VanLandingham продолжал нести флаг первенства, используя программы, написанные различными энтузиастами. К 1 мая 2006 года VanLandingham достиг отметки 300 миллионов цифр (со скоростью одного миллиона цифр каждые 5-7 дней). Палиндром всё еще не обнаружен.

Другие кандидаты в числа Лишрел, которые подвергались такому же перебору, включают 879, 1997 и 7059: они были прослежены на протяжении миллионов итераций без обнаружения палиндрома.^[7]

Примечания

1. ↑ http://www.math.niu.edu/~rusin/known-math/96/palindrome
2. ↑ Digit Reversal Sums Leading to Palindromes
3. ↑ http://www.p196.org/lychrel%20records.html
4. ↑ http://www.p196.org/lychrel%20seeds.html
5. ↑ http://home.cfl.rr.com/p196/math%20solutions.html (недоступная ссылка)
6. ↑ Coming or Going? (англ.)
7. ↑ Lychrel Records. Архивировано из первоисточника 21 октября 2006.

Ссылки

• Джон Уокер (англ.) — три года вычислений
• Тим Ирвин (англ.) — около двух месяцев вычислений.
• Джейсон Дусетт — Мировые рекорды (англ.) — «Квест 196», наиболее отложенные палиндромы.
• Бенджамин Деспрес (англ.).
• 196 и другие числа Лишрел. Сайт Wade VanLandingham (англ.).
• Weisstein, Eric W. 196-Algorithm (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Lychrel Number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Palindromic Number Conjecture (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Reverse-Then-Add Sequence (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• MathPages — цифра перенос суммы, приведшие к Palindromes
• Рассказы о математиках. Клара Зискин. Упоминание проблемы в русскоязычной литературе.