Распределение (дифференциальная геометрия)

У этого термина существуют и другие значения, см. Распределение.

Распределением на многообразии $M$ называется подрасслоение касательного расслоения многообразия. Другими словами, в каждой точке $x\in M$ выбрано линейное подпространство $\Delta_x$ касательного пространства $T_x M$ которое гладко зависит от точки $x$.

Распределения используются в теории интегрируемости и в теории слоений на многообразии.

Определение

Пусть $M$ — гладкое $n$-мермое многообразие и $k \leq n$. Предположим в каждой точке $x \in M$ выбрано $k$-мерное подпространство $\Delta_x \subset T_x(M)$ касательного пространства такое, что у любой точки $x\in M$ существует окрестность $U_x \subset M$ и $k$ линейно независимых гладких векторных полей $X_1,\ldots,X_k$, причем для любой точки $y \in U_x$, векторы $X_1(y),\ldots,X_k(y)$ составляют базис подпространства $\Delta_y \subset T_y(M)$.

В этом случае, совокупность $\Delta$ всех подпространств $\Delta_x$, $x \in M$, называется $k$-мерным распределением на многообразии $M$.

При этом векторные поля $\{ X_1,\ldots,X_k \}$ называется локальным базисом распределения $\Delta.$

Инволютивные распределения

Распределение $\Delta$ на $M$ называется инволютивным, если в окрестности каждой точки $x \in M$ существует локальный базис распределения $\{ X_1,\ldots,X_k \}$ такой, что все скобки Ли векторных полей $[X_i,X_j]$ принадлежат линейной оболочке $\{ X_1,\ldots,X_k \}$, то есть $[X_i,X_j]$ являются линейными комбинациями векторов $\{ X_1,\ldots,X_k \}.$ Условие инволютивности распределения $\Delta$ записывается как $[ \Delta , \Delta ] \subset \Delta$.

Инволютивные распределения являются касательными пространствами к слоениям. Инволютивные распределения важны тем, что они удовлетворяют условиям теоремы Фробениуса, и таким образом, приводят к интегрируемым системам.

Задание распределения системой 1-форм

На открытом множестве $U\subset M$ $k$-мерное распределение $\Delta$ может быть задано системой гладких 1-форм $\omega_1,\dots,\omega_{n-k}$, определенных в $U$ и линейно независимых в каждой точке: оно определяется уравнениями $\omega_i(\xi)=0$. Если $\{\omega_1\dots,\omega_{n-k}\}$ и $\{\omega_1',\dots,\omega_{n-k}'\}$ — системы 1-форм, определяющие распределение $\Delta$ в $U$ и в $U'$, то в пересечении $U\cap U'$ форма $\omega_i=\sum\phi_{ij}\omega_j$, где $\phi_{ij}$ — такие гладкие функции, что $\det(\phi_{ij})\ne 0$ в $U\cap U'$.

Если $U=M$, говорят, что задана глобальная определяющая система форм.

Интегрируемость распределения

$k$-мерное распределение называется интегрируемым, если через каждую точку $x\in M$ проходит $k$-мерная интегральная поверхность, которая касается распределения в каждой своей точке.

Одномерное распределение задается не обращающимся в ноль векторным полем. Такое распределение всегда интегрируемо в силу локальной теоремы существования и единственности решений обыкновенных дифференциальных уравнений.

В $k$-мерном случае, $k>1$, существуют неинтегрируемые распределения. Теорема Фробениуса дает необходимое и достаточное условие интегрируемости распределения.

Теорема Фробениуса в терминах векторных полей

Теорема: $k$-мерное распределение интегрируемо тогда и только тогда, когда множество векторов, касательных к распределению, замкнуто относительно скобки Ли.

Таким образом, инволютивные распределения являются интегрируемыми.

Теорема Фробениуса в терминах 1-форм

Теорема: $k$-мерное распределение, заданное системой гладких 1-форм $\omega_1,\dots,\omega_{n-k}$, интегрируемо тогда и только тогда, когда всякий дифференциал

$d\omega_i=\sum_j \eta_j^{i}\wedge \omega_j$,

где $\eta_j^{i}$ — гладкие 1-формы. Если определяющие формы $\omega_{i}$ независимы, это условие эквивалентно системе

$\omega_1\wedge\dots\wedge\omega_{n-k}\wedge d\omega_i=0$.

Интегрируемое распределение $\Delta$ определяет слоение на многообразии $M$: его слоями являются интегральные поверхности распределения. Заметим, что $1$-мерное распределение всегда интегрируемо, следовательно, порождает $1$-мерное слоение.

Теорема Тёрстона

Теорема Тёрстона: На замкнутом многообразии всякое распределение гомотопно интегрируемому ^[1], ^[2].

Для открытого многообразия критерий гомотопности распределения некоторому интегрируемому распределению был найден Хэфлигером^[3].

См. также

• Слоение
• Пфаффово уравнение

Примечания

1. ↑ W. Thurston, The theory of foliations of codimension greater than one — Comm. Math. Helv., 49 (1974), pp. 214–231.
2. ↑ W. Thurston, Existence of codimension one foliations — Ann. of Math., 104:2 (1976), pp. 249–268.
3. ↑ A. Haefliger, Feuilletages sur les variétés ouvertes — Topology, 9:2 (1970), pp. 183–194.

Литература

• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. — М.: Наука, 1971.
• Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии. — М.: Наука, 1989.