Задача Гурса

Зада́ча Гурса́ — это разновидность краевой задачи для гиперболических уравнений и систем 2-го порядка с двумя независимыми переменными по данным на двух выходящих из одной точки характеристических кривых.

Историческая справка

Задача названа в честь математика Э. Гурса. В его широко известном «Курсе математического анализа» этой задаче посвящен отдельный параграф^[1].

Постановка задачи

Пусть в области $\Omega$ задано гиперболическое уравнение $u_{xy} = F(x,\,y,\,u,\,u_x,\,u_y)$ и краевое условие. Задача: найти регулярное в области $\Omega$ и непрерывное в замыкании $\bar{\Omega}$ решение по краевому условию.

В «Математической Энциклопедии»^[2] краевое условие формулируется следующим образом:

$u(0,\, t) = \varphi(t),\; u(t,\, 1) = \psi(t),\; \varphi(1) = \psi(0)$, где $\varphi$ и $\psi$ — заданные непрерывно дифференцируемые функции.

В учебнике Тихонова, Самарского^[3] оно формулируется немного по-другому:

$u(x,\, 0) = \varphi_1(x),\; u(0,\, y) = \varphi_2(y)$, где $\varphi_1$ и $\varphi_2$ удовлетворяют условиям сопряжения и дифференцируемости.

В «Курсе» Гурса говорится о более общем случае.

$u(x,\, \pi(x)) = \varphi(x),\; u(\chi(y),\, y) = \psi(y)$

Решение

Существование решения

Если функция $F$ непрерывна для всех $(x,\, y) \in \bar{\Omega}$ и для любых $u,\; p=u_x,\; q=u_y$ допускает производные $F_u,\; F_p,\; F_q$, которые по абсолютной величине меньше некоторого числа, то в области $\bar{\Omega}$ существует единственное и устойчивое решение.

Метод Римана ^{[* 1]}

Рассматривается линейный случай. Исходное уравнение принимает вид $Lu \equiv u_{xy} + au_x + bu_y + cu = f$.

Вводится функция Римана $R(x,\, y;\; \xi,\, \eta)$, которая однозначно определяется как решение уравнения

$R_{xy} - (aR)_x - (bR)_y + cR = 0$,

удовлетворяющее условиям на характеристиках

$R(\xi,\, y;\; \xi,\, \eta) = \exp \int \limits_\eta^y a(\xi,\, t) dt$

$R(x,\, \eta;\; \xi, \eta) = \exp \int \limits_\xi^x b(t,\, \eta) dt$

где $(\xi,\, \eta) \in \Omega$ — произвольная точка.

Решение задачи Гурса в линейном случае в «Энциклопедии» дается при $\varphi = \psi \equiv 0$

$u(x,\,y) = \int \limits_0^x d\xi \int \limits_1^y R(\xi,\, \eta;\; x,\, y) f(x,y) d\eta$

Метод последовательных приближений ^{[* 2]}

Рассматривается два случая

1. $F(x,\, y,\, u,\, u_x,\, u_y) = f(x,\, y)$

Последовательно интегрируя исходное уравнение получаем аналитическую формулу

$u(x,\, y) = \varphi_1(x) + \varphi_2(y) - \varphi_1(0) + \int \limits_0^y \int \limits_0^x f(\xi,\, \eta) d\xi d\eta$

Из этой формулы следует существование и единственность решения данной задачи.

1. $F(x,\, y,\, u,\, u_x,\, u_y) = au_x + bu_y + cu + f$

Исходное уравнение преобразуется к интегро-дифференциальному уравнению

$u(x,\, y) = \int \limits_0^y \int \limits_0^x \left[ au_\xi + bu_\eta + cu\right] d\xi d\eta + \varphi_1(x) + \varphi_2(y) - \varphi_1(0) + \int \limits_0^y \int \limits_0^x f(\xi,\, \eta) d\xi d\eta$

Это уравнение решается методом последовательных приближений. Нулевое приближение $u_0(x,\, y) = 0$ подставляется в интегро-дифференциальное уравнение. Результат принимается в качестве первого приближения, которое в свою очередь подставляется в интегро-дифференциальное уравнение и т. д. Таким образом получается бесконечная последовательность $\left\{ u_n(x,\, y) \right\}$. Далее доказывается сходимость данной последовательности и находится ее предел $u(x,\, y) = \lim_{n \to \infty} u_n(x,\, y)$. Этот предел и есть решение задачи.

Примечания

1. ↑ излагается по «Математической Энциклопедии»
2. ↑ излагается по учебнику Тихонова, Самарского

Источники

1. ↑ Э. Гурса Курс математического анализа, том 3, часть 1. — Москва — Ленинград: Государственное Технико-Теоретическое Издательство, 1933.
2. ↑ ГУРСА ЗАДАЧА
3. ↑ Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. — Москва: Главная редакция физико-математичекой литературы издательства «Наука», 1977.