Нормальная форма Пуанкаре — Дюлака

Нормальная форма Пуанкаре — Дюлака

Связать^?

В теории динамических систем, нормальная форма Пуанкаре — Дюлака (англ.) — формальная нормальная форма векторного поля в окрестности своей особой точки.

Формулировка

Резонансы

По определению, резонансом для набора $(\lambda_1,\;\ldots,\;\lambda_n)\in\C^n$ называется равенство

$\lambda_j=\langle\lambda,\;k\rangle,$

(*)

где $k\in\Z^n,\;k_1,\;\ldots,\;k_n\geqslant 0,\;k_1+\ldots+k_n\geqslant 2$.

Резонансным мономом векторного поля, линейная часть которого приведена к жордановой нормальной форме с собственными значениями $\lambda_1,\;\ldots,\;\lambda_n$, называется моном

$z^k\partial/\partial z_j,$

где $z^k=z_1^{k_1}\ldots z_n^{k_n}$ и для λ и k выполнено (*).

Теорема Пуанкаре — Дюлака

Теорема.Формальное векторное поле с особой точкой в начале координат формально эквивалентно формальному векторному полю, линейная часть которого приведена к жордановой нормальной форме, и все ненулевые мономы резонансны.

Указанный в теореме вид называется резонансной формальной нормальной формой Пуанкаре — Дюлака.

Связанные понятия

Области Пуанкаре и Зигеля

Говорят, что вектор $\lambda\in\C^n$ принадлежит области Пуанкаре, если ноль не лежит в выпуклой оболочке точек $\lambda_1,\;\ldots,\;\lambda_n\in\C\sim\R^2$. В противном случае говорят, что он принадлежит области Зигеля. Наконец, в случае, если ноль принадлежит выпуклой оболочке вместе с некоторой своей окрестностью, говорят, что вектор λ принадлежит строгой области Зигеля.

В случае вектора собственных значений, принадлежащего области Пуанкаре, резонансная нормальная форма Пуанкаре — Дюлака на самом деле полиномиальна. В случае таких собственных значений, можно утверждать, что векторное поле аналитически эквивалентно своей резонансной формальной нормальной форме.

Теорема Левелля

Теорема Левелля, описывающая резонансную нормальную форму фуксовой особой точки

$\dot{z}=\frac{A(t)}{t}z$

может рассматриваться как линейный по z вариант нормальной формы Пуанкаре — Дюлака для расширенной системы

$\left\{\begin{array}{l}\dot{z}=A(t)z, \\ \dot{t}=t.\end{array}\right.$

Литература

• Арнольд В. И., Ильяшенко Ю. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Динамические системы — 1 // Итоги науки и техн. — Сер. «Соврем. пробл. мат. Фундам. направления». — №1. — М.: ВИНИТИ, 1985. — с. 7—140.
• Ilyashenko Yu., Yakovenko S. Lectures on Analytic Differential Equations.