Фуксова особая точка

В теории дифференциальных уравнений с комплексным временем, точка $t=t_0\in \C$ называется фуксовой особой точкой линейного дифференциального уравнения

$\dot{z}=A(t)z, \quad z\in \C^n, \quad t\in \C,$

если матрица системы A(t) имеет в ней полюс первого порядка. Это — простейшая возможная особенность линейного дифференциального уравнения с комплексным временем.

Говорят также, что $t=\infty$ является фуксовой особой точкой, если точка $s=0$ оказывается фуксовой после замены $t=1/s$, иными словами, если матрица системы $A(t)$ стремится к нулю на бесконечности.

Простейший пример

Одномерное дифференциальное уравнение $\dot{z}=\frac{a}{t} z$ имеет фуксову особую точку в нуле, а его решениями являются (вообще говоря, многозначные) функции $z(t)=C\cdot t^a$. При обходе вокруг нуля решение при этом умножается на $\lambda=e^{2\pi i a}$.

Рост решений и отображение монодромии

При приближении к фуксовой особой точке в любом секторе норма решения растёт не быстрее, чем полиномиально:

$\|z(t-t_0)\|\le C \|t-t_0\|^{-N}$

для некоторых констант $C$ и $N$. Тем самым, всякая фуксова особая точка является регулярной.

Этот раздел статьи ещё не написан. Согласно замыслу одного из участников Википедии, на этом месте должен располагаться специальный раздел. Вы можете помочь проекту, написав этот раздел.

Нормальная форма Пуанкаре-Дюлака-Левелля

Этот раздел статьи ещё не написан. Согласно замыслу одного из участников Википедии, на этом месте должен располагаться специальный раздел. Вы можете помочь проекту, написав этот раздел.

21-я проблема Гильберта

Двадцать первая проблема Гильберта состояла в том, чтобы при заданных точках на сфере Римана и представлении фундаментальной группы дополнения к ним построить систему дифференциальных уравнений с фуксовыми особенностями в этих точках, для которой монодромия оказывается заданным представлением. Долгое время считалось, что эта проблема была положительно решена Племелем (опубликовавшим решение в 1908 году), однако в его решении в 1970-х годах Ю. С. Ильяшенко была обнаружена ошибка. На самом деле, конструкция Племеля позволяла строить требуемую систему при диагонализуемости хотя бы одной из матриц монодромии.^[1]

В 1989 году А. А. Болибрухом был опубликован^[2] пример набора особых точек и матриц монодромии, который не может быть реализован никакой фуксовой системой — тем самым, отрицательно решающий проблему.

Литература

1. ↑ Ю. С. Ильяшенко, «Нелинейная проблема Римана-Гильберта», Дифференциальные уравнения с вещественным и комплексным временем, Сборник статей, Тр. МИАН, 213, Наука, М., 1997, с. 10-34.
2. ↑ А. А. Болибрух, «Проблема Римана-Гильберта на комплексной проективной прямой», Матем. заметки, 46:3 (1989), 118—120

• А. А. Болибрух, Обратные задачи монодромии в аналитической теории дифференциальных уравнений, М.: МЦНМО, 2009.
• Yu. Ilyashenko, S. Yakovenko, Lectures on Analytic Differential Equations, AMS, 2007.