Теорема Наполеона

Теорема Наполеона — утверждение евклидовой планиметрии о равносторонних треугольниках:

Если на каждой стороне произвольного треугольника построить по равностороннему треугольнику, то треугольник с вершинами в центрах равносторонних треугольников — тоже равносторонний

Треугольники могут быть построены вовнутрь (все) — утверждение сохранит силу.

Получаемый таким образом треугольник называют треугольником Наполеона (внутренним и внешним).

Теорема часто приписывается Наполеону Бонапарту (1769—1821). Возможно, однако, что её предложил У. Резерфорд в публикации 1825 года The Ladies' Diary.[1]

Доказательства

Данная теорема может быть доказана несколькими способами. Один из них использует поворот и теорему Шаля (3 последовательных поворота возвращают плоскость на место). Похожий способ использует поворотную гомотетию (при применении 2 гомотетий с равными коэффициентами MN и LN переходят в один отрезок CZ). Другие способы более прямолинейны, но и более громоздки.

Связь с другими утверждениями

• Обобщение — теорема Петра-Неймана-Дугласа [2]

Теорема Наполеона обобщается на случай произвольных треугольников следующим образом:

Если подобные треугольники любой формы построены на сторонах треугольника внешним образом так, что каждый повёрнут относительно предыдущего, и любые три соответствующие точки этих треугольников соединены, то итоговый треугольник будет подобен этим внешним треугольникам.

Аналогом теоремы Наполеона для параллелограммов является первая теорема Тебо.

См. также

• Вторая точка Ферма
• Теорема Ван-Обеля

Ссылки

• Теорема Наполеона в анимации.
• Weisstein, Eric W. Теорема Наполеона (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.