Точка Ферма

Точка Ферма
Построение точки Ферма для треугольников с углами, не превосходящими 120°.

Точка Ферма — точка плоскости, сумма расстояний от которой до вершин треугольника является минимальной. Точка Ферма даёт решение проблемы Штейнера для вершин треугольника.

Содержание

Построение

Теорема (Э. Торричелли, Б. Кавальери, Т. Симпсон, Ф. Хейнен, Ж. Бертран). Построим на сторонах произвольного треугольника ABC вне его равносторонние треугольники ABC', BCA', CAB'. Тогда шесть кривых — три окружности, описанные вокруг этих правильных треугольников, и прямые AA', BB', CC' пересекаются в одной точке X. Если все углы треугольника ABC не превосходят 120°, то X лежит в треугольнике ABC и является точкой Ферма S. В этом случае углы между отрезками AS, BS и CS равны между собой и, значит, равны 120°. Более того, длины отрезков AA', BB' и CC', называемых линиями Симпсона, тоже равны между собой и равны AS + BS + CS. Если один из углов треугольника ABC больше 120°, то X лежит вне треугольника ABC, а точка Ферма S совпадает с вершиной тупого угла.

Теорема дает алгоритм построения точки Ферма с помощью циркуля и линейки. В нетривиальном случае, когда все углы треугольника меньше 120°, точку Ферма находят как пересечение любых двух из шести кривых, описанных в теореме.

Экспериментальное построение точки Ферма.

Физически эту точку можно построить так: отметим на плоской гладкой горизонтальной поверхности точки A, B и C и просверлим в отмеченных местах сквозные отверстия; свяжем три нити и пропустим сверху их свободные концы через отверстия; привяжем к свободным концам грузики одинаковой массы; когда система придет в равновесие, узел окажется в точке Ферма для треугольника ABC.

Точка Торричелли

Точка Торричелли — точка треугольника, из которой все стороны видны под углом в 120°. Существует только в треугольниках с углами меньшими 120°, при этом, она единственна и, значит, совпадает с точкой Ферма.

Литература

  • Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика/Глав. ред. М. Д. Аксёнова. — М.: Аванта+, 2001. — 688 c.: ил.
  • А. О. Иванов, А. А. Тужилин. Теория экстремальных сетей. — Москва–Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. — ISBN 5-93972-292-X

Примечания

См. также

Ссылки


Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужен реферат?

Полезное


Смотреть что такое "Точка Ферма" в других словарях:

  • Лемма Ферма — утверждает, что производная дифференцируемой функции в точке локального экстремума равна нулю. Содержание 1 Предыстория 2 Формулировка 3 Доказательство …   Википедия

  • Список эпизодов телесериала «Горячая точка» — Эта статья содержит незавершённый перевод с иностранного языка. Вы можете помочь проекту, переведя её до конца. Если вы знаете, на каком языке написан фрагмент, укажите его в этом шаблоне. Список серий канадского т …   Википедия

  • Критическая точка (математика) — У этого термина существуют и другие значения, см. Критическая точка. Критической точкой дифференцируемой функции , где   область в , называется точка, в которой все её частные производные обращаются в нуль. Это условие эквивалентно обращению …   Википедия

  • Задача Штейнера — Минимальное дерево Штейнера для точек A, B и C, где S точка Ферма треугольника ABC. Задача Штейнера состоит в поис …   Википедия

  • Замечательные точки треугольника — Замечательные точки треугольника  точки, местоположение которых однозначно определяется треугольником и не зависит от того, в каком порядке берутся стороны и вершины треугольника. Обычно они расположены внутри треугольника, но и это не… …   Википедия

  • Теорема Наполеона — Теорема Наполеона  утверждение евклидовой планиметрии о равносторонних треугольниках …   Википедия

  • ГЕОМЕТРИИ ОБЗОР — Геометрия раздел математики, тесно связанный с понятием пространства; в зависимости от форм описания этого понятия возникают различные виды геометрии. Предполагается, что читатель, приступая к чтению этой статьи, обладает некоторыми… …   Энциклопедия Кольера

  • МОЛОКО — МОЛОКО. Содержание: Физиол. ценность и потребление М...... 612 Хим. и физ. свойства М............. 615 Бактерии М. и уничтожение их........ 622 Фальсификация М................ 629 Производство и распределение М........ 630 Молочное… …   Большая медицинская энциклопедия

  • Прямоугольная система координат — Прямоугольная система координат  прямолинейная система координат с взаимно перпендикулярными осями на плоскости или в пространстве. Наиболее простая и поэтому часто используемая система координат. Очень легко и прямо обобщается для… …   Википедия

  • Эллиптическая кривая — Не следует путать с Эллипс. Эллиптическая кривая над полем K  это множество точек проективной плоскости над K, удовлетворяющих уравнению вместе с точкой на бесконечности. Эллиптические кривые являются одним из основных объектов изучения в… …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»