Топологическая сопряжённость

В теории динамических систем, динамическая система $(X,f)$ называется топологически сопряжённой динамической системе $(Y,g)$, если найдётся такой гомеоморфизм $h:X\to Y$, что $g\circ h= h\circ f$, или, что то же самое,

$g= h\circ f\circ h^{-1}.$

Иными словами, (непрерывная) замена координат $y=h(x)$ превращает динамику итераций f на X в динамику итераций g на Y.

Регулярность сопрягающего отображения

Стоит отметить, что даже в случае, когда X и Y — многообразия, а отображения f и g гладкие (или даже аналитические), отображение h достаточно часто оказывается всего лишь непрерывным. Так, гладкое сопряжение не может изменить значения мультипликаторов в неподвижной или периодической точке; напротив, для структурно устойчивых удвоения окружности или диффеоморфизма Аносова двумерного тора периодические точки всюду плотны, а типичное возмущение изменяет все эти мультипликаторы.

Впрочем, сопряжение гиперболических отображений оказывается гёльдеровым, а сопряжение гладких или аналитических диффеоморфизмов окружности с диофантовым числом вращения также оказывается, соответственно, гладким или аналитическим.

В случае, если отображение h оказывается гёльдеровым, ($C^r$-)гладким или аналитическим, говорят соответственно о гёльдеровой, ($C^r$-)гладкой или аналитической сопряжённости.

Литература

А. Б. Каток, Б. Хасселблат. Введение в современную теорию динамических систем = Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems / пер. с англ. А. Кононенко при участии С. Ферлегера. — М.: Факториал, 1999. — С. 70-83. — 768 с. — ISBN 5-88688-042-9