Диффеоморфизм Аносова

В теории динамических систем, области математики, диффеоморфизмы Аносова — введённый Д. В. Аносовым класс отображений с хаотической динамикой, динамика которых устойчива относительно малых возмущений.

Определение

Диффеоморфизм $f:M\rightarrow M$ — диффеоморфизм Аносова, если он гиперболичен на всём многообразии M. А именно: существует разложение касательного расслоения TM в прямую сумму двух непрерывных подрасслоений, E^u и E^s, инвариантных относительно динамики, причём на E^u динамика экспоненциально растягивает, а на E^s экспоненциально сжимает:

$\|f^n(v)\| \le c_1\,\lambda^n \|v\| \quad \forall n\in\mathbb{N}, \, v\in E^s,$

$\|f^n(v)\| \ge c_2\,\mu^n \|v\| \quad \forall n\in\mathbb{N}, \, v\in E^u,$

где $c_1,c_2>0$ и $\mu>1>\lambda>0$ — константы.

Свойства

• Диффеоморфизмы Аносова структурно устойчивы: для любого аносовского диффеоморфизма f существует его окрестность в пространстве C¹-диффеоморфизмов, любой диффеоморфизм g из которой сопряжен f некоторым гомеоморфизмом h:

$f\circ h = h\circ g.$

Иными словами, динамика малого возмущения f отличается от самого f только заменой координат (правда, лишь непрерывной!).

• Часть определения, относящаяся к растяжению, может быть переписана как сжатие в обратном времени:

$\|f^{-n}(v)\| \le c_3\, \mu^{-n} \|v\| \quad \forall n\in\mathbb{N}, \, v\in E^u.$

Примеры

Наиболее известным примером диффеоморфизма Аносова является действие отображения $\left(\begin{smallmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{smallmatrix}\right)$ на двумерном торе $\mathbb{T}^2=\mathbb{R}^2/\mathbb{Z}^2$.

Более общо, если матрица $A\in SL_n(\mathbb{Z})$ не имеет собственных значений, равных по модулю единице, то спуск действия A на тор $\mathbb{T}^n=\mathbb{R}^n/\mathbb{Z}^n$ (корректно определённый, поскольку A сохраняет $\mathbb{Z}^n$) будет диффеоморфизмом Аносова.

Литература

• А. Б. Каток, Б. Хасселблат Введение в современную теорию динамических систем с обзором последних достижений / пер. с англ. под ред. А. С. Городецкого. — М.: МЦНМО, 2005. — 464 с. — ISBN 5-94057-063-1