Отображение удвоения

В теории динамических систем, отображение удвоения окружности — отображение $x\mapsto 2x \mod 1$ окружности $S^1=\R/\Z$ в себя, являющееся одним из базовых примеров отображений с хаотической динамикой.

Свойства

• Отображение удвоения — необратимое, и является накрытием степени 2.
• Отображение удвоения является растягивающим.
• Любое растягивающее отображение степени 2 на окружности сопряжено отображению удвоения. Сопрягающее отображение при этом гёльдерово, но, вообще говоря, не гладкое.
• Как следствие предыдущего пункта, отображение удвоения структурно устойчиво.
• Любая динамическая система на окружности, задающаяся сохраняющим ориентацию двулистным накрытием, полусопряжена отображению удвоения.
• Представление окружности как отрезка [0,1] превращает отображение удвоения в отображение зуб пилы: $f(x)=\{2x\}$, где $\{\cdot\}$ — дробная часть.
• Переход к двоичной записи, являющейся отображением судьбы для разбиения $S^1=[0,1/2[ \cup [1/2,1[$, сопрягает отображение удвоения со сдвигом Бернулли, при этом мере Лебега соответствует мера Бернулли с весами (1/2,1/2).
• Энтропия отображения удвоения равна логарифму двух.

Литература

А. Б. Каток, Б. Хасселблат. Введение в современную теорию динамических систем = Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems / пер. с англ. А. Кононенко при участии С. Ферлегера. — М.: Факториал, 1999. — С. 83-89. — 768 с. — ISBN 5-88688-042-9

Для улучшения этой статьи желательно?: Добавить иллюстрации.