Теорема о запрете клонирования

Эта статья — о запрете клонирования в квантовой механике. О запрете клонирования человека см. Клонирование человека#Законодательство о клонировании человека.

Квантовая механика

$\Delta x\cdot\Delta p_x \geqslant \frac{\hbar}{2}$

Принцип неопределённости

Введение Математические основы

Основа Классическая механика · Постоянная Планка · Интерференция · Бра и кет · Гамильтониан Фундаментальные понятия Квантовое состояние · Квантовая наблюдаемая · Волновая функция · Квантовая суперпозиция · Квантовая запутанность · Смешанное состояние · Измерение · Неопределённость · Принцип Паули · Дуализм · Декогеренция · Теорема Эренфеста · Туннельный эффект Эксперименты Опыт Дэвиссона — Джермера · Опыт Поппера · Опыт Штерна — Герлаха · Опыт Юнга · Проверка неравенств Белла · Фотоэффект · Эффект Комптона Формулировки Представление Шрёдингера · Представление Гейзенберга · Представление взаимодействия · Матричная квантовая механика · Интегралы по траекториям · Диаграммы Фейнмана Уравнения Уравнение Шрёдингера · Уравнение Паули · Уравнение Клейна — Гордона · Уравнение Дирака · Уравнение фон Неймана · Уравнение Блоха · Уравнение Линдблада · Уравнение Гейзенберга Интерпретации Копенгагенская · Теория скрытых параметров · Многомировая Развитие теории Квантовая теория поля · Квантовая электродинамика · Теория Глэшоу — Вайнберга — Салама · Квантовая хромодинамика · Стандартная модель · Квантовая гравитация Сложные темы Квантовая теория поля · Квантовая гравитация · Теория всего Известные учёные Планк · Эйнштейн · Шрёдингер · Гейзенберг · Йордан · Бор · Паули · Дирак · Фок · Борн · де Бройль · Ландау · Фейнман · Бом · Эверетт

См. также: Портал:Физика

Теорема о запрете клонирования — утверждение квантовой теории о невозможности создания идеальной копии произвольного неизвестного квантового состояния. Теорема была сформулирована Вуттерсом, Зуреком и Диэксом в 1982 году и имела огромное значение в области квантовых вычислений, квантовой теории информации и смежных областях.

Состояние одной квантовой системы может быть сцепленным с состоянием другой системы. Например, создать сцепленное состояние двух кубитов можно с помощью однокубитного преобразования Адамара и двухкубитного квантового вентиля C-NOT. Результатом такой операции не будет клонирование, поскольку результирующее состояние нельзя описать на языке состояний подсистем (состояние является нефакторизуемым). Клонирование — это такая операция, в результате которой создается состояние, являющееся тензорным произведением идентичных состояний подсистем.

Доказательство

Пусть мы хотим создать копию системы A, которая находится в состоянии $|\psi\rangle_A$ (см. обозначения Дирака). Для этого возьмем систему B с тем же самым гильбертовым пространством, находящуюся в начальном состоянии $|e\rangle_B$. Начальное состояния, конечно, не должно зависеть от состояния $|\psi\rangle_A$, поскольку это состояние нам неизвестно. Составная система A+B описывается тензорным произведением состояний подсистем:

$|\psi\rangle_A \otimes |e\rangle_B \equiv |\psi\rangle_A |e\rangle_B.$

С составной системой можно произвести два различных действия. Мы можем измерить её состояние, что приведет к необратимому переходу системы в одно из собственных состояний измеряемой наблюдаемой и (частичной) потери информации об исходном состоянии системы A. Очевидно, такой сценарий нам не подходит. Другая возможность заключается в применении унитарного преобразования U, должным образом «настраивая» гамильтониан системы. Оператор U будет клонировать состояние системы, если

$U |\psi\rangle_A |e\rangle_B = |\psi\rangle_A |\psi\rangle_B$

и

$U |\phi\rangle_A |e\rangle_B = |\phi\rangle_A |\phi\rangle_B$

для всех $| \phi \rangle$ и $| \psi \rangle$. Согласно определению унитарного оператора, U сохраняет скалярное произведение:

$\langle e|_B \langle \phi|_A U^{\dagger} U |\psi\rangle_A |e\rangle_B = \langle \phi|_B \langle \phi|_A |\psi\rangle_A |\psi\rangle_B,$

то есть

$\langle \phi | \psi \rangle = \langle \phi | \psi \rangle ^2.$

Из этого следует, что либо $|\phi\rangle = |\psi\rangle$, либо состояния $|\phi\rangle$ и $|\psi\rangle$ ортогональны (что в общем случае, конечно, неверно). Таким образом, операция U не может клонировать произвольное квантовое состояние. Теорема о запрете клонирования доказана.

Неточное копирование

Хотя создание точных копий неизвестного квантового состояния невозможно, можно тиражировать его неточные копии. Для этого нужно привести исходную систему во взаимодействие с большей вспомогательной системой и провести специальное унитарное преобразование комбинированной системы, в результате которого несколько компонентов большей системы станут приблизительными копиями исходной. Такой процесс может быть использован для атаки на квантовые криптографические системы, а также для других целей в квантовых вычислениях.

См. также

• Квантовая телепортация
• Квантовая сцепленность
• Квантовый компьютер
• Квантовая криптография
• Квантовые деньги

Литература

• W.K. Wootters and W.H. Zurek, A Single Quantum Cannot be Cloned, Nature 299 (1982), pp. 802-803.
• D. Dieks, Communication by EPR devices, Physics Letters A, vol. 92(6) (1982), pp. 271-272.
• V. Buzek and M. Hillery, Quantum cloning, Physics World 14 (11) (2001), pp. 25-29.
• * V. Scarani, S. Iblisdir, N. Gisin, A. Acin: Quantum cloning, Reviews of Modern Physics. Vol.77. (2005) 1225–1256 (2005) arXiv.org:quant-ph/0511088
• Бауместер Д., Экерт А., Цайлингер А. Физика квантовой информации. М.: Постмаркет, 2002. 376 с.
• Нильсен М., Чанг И. Квантовые вычисления и квантовая информация. М.: Мир, 2006. 824 с.
• Прескилл Дж. Квантовая информация и квантовые вычисления. Том 1. РХД, 2008. 464 с. ISBN 978-5-93972-651-1