Математические основы квантовой механики

Эта статья или раздел нуждается в переработке. Пожалуйста, улучшите статью в соответствии с правилами написания статей.

Квантовая механика

$\Delta x\cdot\Delta p_x \geqslant \frac{\hbar}{2}$

Принцип неопределённости

Введение Математические основы

Основа Классическая механика · Постоянная Планка · Интерференция · Бра и кет · Гамильтониан Фундаментальные понятия Квантовое состояние · Квантовая наблюдаемая · Волновая функция · Квантовая суперпозиция · Квантовая сцепленность · Смешанное состояние · Измерение · Неопределённость · Принцип Паули · Дуализм · Декогеренция · Теорема Эренфеста · Туннельный эффект Эксперименты Опыт Дэвиссона — Джермера · Опыт Поппера · Опыт Штерна — Герлаха · Опыт Юнга · Проверка неравенств Белла · Фотоэффект · Эффект Комптона Формулировки Представление Шрёдингера · Представление Гейзенберга · Представление взаимодействия · Матричная квантовая механика · Интегралы по траекториям · Диаграммы Фейнмана Уравнения Уравнение Шрёдингера · Уравнение Паули · Уравнение Клейна — Гордона · Уравнение Дирака · Уравнение фон Неймана · Уравнение Блоха · Уравнение Линдблада · Уравнение Гейзенберга Интерпретации Копенгагенская · Теория скрытых параметров · Многомировая Развитие теории Квантовая теория поля · Квантовая электродинамика · Теория Глэшоу — Вайнберга — Салама · Квантовая хромодинамика · Стандартная модель · Квантовая гравитация Сложные темы Квантовая теория поля · Квантовая гравитация · Теория всего Известные учёные Планк · Эйнштейн · Шрёдингер · Гейзенберг · Йордан · Бор · Паули · Дирак · Фок · Борн · де Бройль · Ландау · Фейнман · Бом · Эверетт

См. также: Портал:Физика

Основные понятия

• Волновая функция
• Операторы
• Оператор Гамильтона
• Уравнение Шрёдингера
• Представление Шрёдингера
• Представление Гейзенберга
• Уравнение Паули
• Уравнение Дирака

Математический аппарат нерелятивистской квантовой механики строится на следующих положениях:^[1]

• Чистые состояния системы описываются ненулевыми векторами $~\psi$ комплексного сепарабельного гильбертова пространства $~H$, причем векторы $~\psi_1$ и $~\psi_2$ описывают одно и то же состояние тогда и только тогда, когда $~\psi_2=c\psi_1 ,$ где $~c$ — произвольное комплексное число. Каждой наблюдаемой однозначно сопоставляется линейный самосопряженный оператор.
• Наблюдаемые одновременно измеримы тогда и только тогда, когда соответствующие им самосопряженные операторы перестановочны (коммутируют).
• Эволюция чистого состояния гамильтоновой системы во времени определяется нестационарным уравнением Шредингера

$~i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t}= \hat{H}\psi ,$

где $~\hat{H}$ — гамильтониан:

$~{\hat{H}}=-{\frac{{\hbar}^2}{2m}}{ \left( {\frac{{{\partial}^2}{}}{{{\partial}x}^2}}+{\frac{{{\partial}^2}{}}{{{\partial}y}^2}}+{\frac{{{\partial}^2}{}}{{{\partial}z}^2}} \right) }+{\hat E_{\rm{pot}}} .$

Стационарные, т. е. не меняющиеся со временем состояния, определяются стационарным уравнением Шредингера:

$~{{\hat{H}}{\psi}}={E{\psi}} .$

• Каждому вектору $~\psi\not=0$ из пространства $~H$ отвечает некоторое чистое состояние системы, любой линейный самосопряженный оператор соответствует некоторой наблюдаемой.

При этом также предполагается, что эволюция квантовой системы является марковским процессом, а число частиц постоянно^[2]. Эти положения позволяют создать математический аппарат, пригодный для описания широкого спектра задач в квантовой механике гамильтоновых систем, находящихся в чистых состояниях. Дальнейшим развитием этого аппарата является квантовая теория поля, в которой обычно описываются квантовые процессы с переменным числом частиц. Для описания состояний открытых, негамильтоновых и диссипативных квантовых систем используется матрица плотности, а для описания эволюции таких систем применяется уравнение Линдблада. Для описания квантовых немарковских процессов обычно предлагаются различные обобщения уравнения Линдблада.

См. также

• Оператор (физика)
• Гейзенберговское представление операторов

Литература

• Боголюбов Н. Н., Логунов А. А., Тодоров И. Т. Основы аксиоматического подхода в квантовой теории поля. М.: Наука, 1969. 424с.
• Боголюбов Н. Н., Логунов А. А., Оксак А. И., Тодоров И. Т. Общие принципы квантовой теории поля. М.: Наука, 1987. 616с.
• Браттели У., Робинсон Д. Операторные алгебры и квантовая статистическая механика. М.: Мир, 1982. 512с.
• Дж. фон Нейман Математические основы квантовой механики, М.: Наука 1964.
• Эмх Ж. Алгебраические методы в статистической механике и квантовой теории поля. М.: Мир, 1976. 424с.
• Холево А. С. Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории. М.: Наука, 1980. 320с.
• Холево А. С. Статистическая структура квантовой теории. Москва, Ижевск: РХД 2003. 188с.

Ссылки

1. ↑ Ф. А. Березин, М. А. Шубин. Уравнение Шредингера. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1983.
2. ↑ Хотя это и не обязательно.