Матричная квантовая механика

Квантовая механика

$\Delta x\cdot\Delta p_x \geqslant \frac{\hbar}{2}$

Принцип неопределённости

Введение Математические основы

Основа Классическая механика · Постоянная Планка · Интерференция · Бра и кет · Гамильтониан Фундаментальные понятия Квантовое состояние · Квантовая наблюдаемая · Волновая функция · Квантовая суперпозиция · Квантовая сцепленность · Смешанное состояние · Измерение · Неопределённость · Принцип Паули · Дуализм · Декогеренция · Теорема Эренфеста · Туннельный эффект Эксперименты Опыт Дэвиссона — Джермера · Опыт Поппера · Опыт Штерна — Герлаха · Опыт Юнга · Проверка неравенств Белла · Фотоэффект · Эффект Комптона Формулировки Представление Шрёдингера · Представление Гейзенберга · Представление взаимодействия · Матричная квантовая механика · Интегралы по траекториям · Диаграммы Фейнмана Уравнения Уравнение Шрёдингера · Уравнение Паули · Уравнение Клейна — Гордона · Уравнение Дирака · Уравнение фон Неймана · Уравнение Блоха · Уравнение Линдблада · Уравнение Гейзенберга Интерпретации Копенгагенская · Теория скрытых параметров · Многомировая Развитие теории Квантовая теория поля · Квантовая электродинамика · Теория Глэшоу — Вайнберга — Салама · Квантовая хромодинамика · Стандартная модель · Квантовая гравитация Сложные темы Квантовая теория поля · Квантовая гравитация · Теория всего Известные учёные Планк · Эйнштейн · Шрёдингер · Гейзенберг · Йордан · Бор · Паули · Дирак · Фок · Борн · де Бройль · Ландау · Фейнман · Бом · Эверетт

См. также: Портал:Физика

Матричная механика — математический формализм квантовой механики, разработанный Вернером Гайзенберга , Максом Борном и Паскуалем Иорданом в 1925 году. Матричная механика была первой независимой и последовательной квантовой теорией. Она развивает идеи теории Бора, в частности отвечает на вопрос, как происходят квантовые скачки. Основная идея матричной механики заключается в том, что физические величины, характеризующие частицу, описываются матрицами, изменяющимися во времени. Такой подход вполне эквивалентный волновой механике Эрвина Шредингера и является основой для бра-кет нотации Дирака для волновой функции.

Математический аппарат

В матричное механике считается, что физическая система может находиться в одном из дискретного набора состояний n или в суперпозиции этих состояний, поэтому в целом состояние квантовомеханической системы задается вектором состояния: конечной или бесконечной совокупностью комплексных чисел

$\phi = \left( \begin{matrix} c_1 \\ \vdots \\ c_i \\ \vdots \end{matrix} \right)$,

а каждой физической величине A, которую можно наблюдать в эсперименте соответствует определенная матрица

$A = \left( \begin{matrix} a_{11} & \ldots & a_{1n} & \ldots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & \ldots & a_{nn} & \ldots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \end{matrix} \right)$

Реальным физическим величинам соответствуют самоспряженные матрицы, для которых

$a_{nm} = a_{mn}^*$.

Комплексные величины $c_n$ задают амплитуду вероятности того, что квантовомеханическая система находится в состоянии n. Диагональные элементы матрицы A соответствуют значениям физической величины, когда она находится в определенном состоянии, а недиагональные элементы описывают вероятность переходов системы из одного состояния в другое.

Особое место занимает матрица энергии H.

Уравнение движения

Основная статья: Картина Гейзенберга

Матрица, которая описывает физическую величину, удовлетворяет уравнению движения

$\frac{dA}{dt} = \frac{\partial A}{\partial t} + \frac{i}{\hbar}[ H, A]$,

где частная производная задает явную зависимость физической величины от времени, а квадратные скобки означают коммутатор матриц A и H. В этой формуле i — мнимая единица $\hbar$ —приведена постоянная Планка. Если матрица A известна в начальный момент времени, то, решая данное уравнение, можно определить ее в любой момент времени.

Эквивалентность матричной механики и волновой механики

Как показал Джон фон Нейман, матричная механика полностью эквивалентна волновой механике Шредингера. Эквивалентность вытекает из того, что в волновую функцию $\psi \,$можно разложить в ряд, используя определенный ортонормированной базис функций $\varphi_i$:

$\psi = \sum_n c_n \varphi_n$.

Коэффициенты этого разложения $c_n \,$ задают вектор состояния.

Матрица, которая соответствует определенной физической величине A задается матричными элементами оператора $\hat{A}$

$A_{nm} = \int \varphi_n^* \hat{A} \varphi_m d\tau$.

Учитывая эквивалентность формулировок, в современной квантовой механике матричный подход используется на равных с описанием с помощью волновых функций.