Уравнение Гамильтона — Якоби

Уравнение Гамильтона — Якоби

В физике и математике, уравнение Гамильтона — Якоби

$H\left(q_1,\dots,q_n;\frac{\partial S}{\partial q_1},\dots,\frac{\partial S}{\partial q_n};t\right) + \frac{\partial S}{\partial t}=0.$

Здесь S обозначает классическое действие, $H(q_1,\dots,q_n;p_1,\dots,p_n;t)$ — классический гамильтониан, q_i — обобщенные координаты.

Непосредственно относится к классической (не квантовой) механике, однако хорошо приспособлено для установления связи между классической механикой и квантовой, так как его можно, например, получить практически прямо из уравнения Шрёдингера в приближении быстроосциллирующей волновой функции (больших частот и волновых чисел).

В классической механике возникает обычно из специального канонического преобразования классического гамильтониана, которое приводит к этому нелинейному дифференциальному уравнению первого порядка, решение которого описывает поведение динамической системы.

Следует отличать уравнение Гамильтона — Якоби от уравнений движения Гамильтона и Эйлера — Лагранжа. Хотя это уравнение и выводится из них, но представляет собой одно уравнение, описывающее динамику механической системы с любым количеством степеней свободы s, в отличие от 2s уравнений Гамильтона и s уравнений Эйлера — Лагранжа.

Уравнение Гамильтона — Якоби помогает элегантно решить задачу Кеплера.

Каноническое преобразование

Уравнение Гамильтона — Якоби немедленно следует из того факта, что для любой генерирующей функции S(q,p',t) (пренебрегая индексами), уравнения движения не изменяются для H(q, p, t) и H'(q',p',t)

$(1) \qquad {\partial S \over \partial q} = p, \qquad {\partial S \over \partial p'} = q', \qquad H' = H + {\partial S \over \partial t} .$

Новые уравнения движения становятся

$(2) \qquad {\partial H' \over \partial q'} = - {dp' \over dt}, \qquad {\partial H' \over \partial p'} = {dq' \over dt}.$

Уравнение Гамильтона — Якоби появляется из специфической генерирующей функции S, которая делает H' тождественной нулю. В этом случае все его производные зануляются и

$(3) \qquad {dp' \over dt} = {dq' \over dt} = 0.$

Таким образом, в штрихованной системе координат, система совершенно стационарна в фазовом пространстве. Однако, мы еще не определили, при помощи какой генерирующей функции S достигается преобразование в штрихованную систему координат, таким образом мы используем тот факт что

$H'(q',p',t) = H(q,p,t) + {\partial S \over \partial t} = 0.$

Поскольку уравнение (1) даёт $p=\partial S/\partial q$ это можно записать

$H\left(q,{\partial S \over \partial q},t\right) + {\partial S \over \partial t} = 0,$

что является уравнением Гамильтона — Якоби.

Решение

Уравнение Гамильтона — Якоби часто решают методом разделения переменных. Пусть некоторая координата (для определённости будем говорить о q₁) и соответствующий ей импульс $\frac{\partial S}{\partial q_1}$ входят в уравнение в форме

$\frac{\partial S}{\partial t} + H\left( f_1 \left(q_1,\frac{\partial S}{\partial q_1}\right), q_2,\ldots,q_n,\frac{\partial S}{\partial q_2},\ldots,\frac{\partial S}{\partial q_n}\right) =0 .$

Тогда можно положить

$f_1 \left(q_1,\frac{\partial S}{\partial q_1}\right) = \alpha_1$

$\frac{\partial S}{\partial q_1} = g_1(q_1,\alpha_1) ,$

где α₁ — произвольная постоянная, g₁ — обратная функция, и решать уравнение Гамильтона — Якоби уже с меньшим числом переменных. Если процесс можно продолжить по всем переменным, то решение уравнения примет вид

$S = - \int H(\alpha_1,\ldots,\alpha_n) dt + \int g_1(q_1,\alpha_1)dq_1 + \int g_2(q_2,\alpha_1,\alpha_2)dq_2 + \ldots + \int g_n(q_n,\alpha_1,\dots,\alpha_n)dq_1 + k,$

где α_i — произвольные постоянные, k — константа интегрирования. Напомним, что при этом S является функцией конечной точки $(q_1,\dots,q_n)$. Так как действие задаёт каноническое преобразование гамильтоновой системы, то его производные по координатам — это импульсы в новой системе координат, поэтому они должны сохраняться:

$\beta_i={\partial S \over \partial \alpha_i}(\mathbf{q},\alpha_1,\dots,\alpha_n,t) .$

Совместно с уравнениями на импульсы это определяет движение системы.

Литература

• Статья в Физической энциклопедии

• Гантмахер Ф. Р. Лекции по аналитической механике. 2-е издание М.: Наука, 1966.
• Добронравов В. В. Основы аналитической механики. М.: Высшая школа, 1976.
• Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Механика. — Издание 5-е, стереотипное. — М.: Физматлит, 2004. — 224 с. — («Теоретическая физика», том I). — ISBN 5-9221-0055-6
• Ланцош К. Вариационные принципы механики. М.: Физматгиз. 1965.
• Лич Дж. У. Классическая механика. М.: Иностр. литература, 1961.
• Павленко Ю. Г. Лекции по теоретической механике. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 392с.
• Парс Л. А. Аналитическая динамика. М.: Наука, 1971.

См. также

• Гамильтонова механика
• Уравнения Гамильтона
• Квазиклассическое приближение