Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкнове́нные дифференциа́льные уравне́ния (ОДУ) — это дифференциальное уравнение вида $F(t,x,x',x'',...,x^{(n)})=0\!$, где $x(t)\!$ — неизвестная функция (возможно, вектор-функция; в таком случае часто говорят о системе дифференциальных уравнений), зависящая от переменной времени $t\!$, штрих означает дифференцирование по $t\!$. Число $n\!$ называется порядком дифференциального уравнения.

Решением дифференциального уравнения называется n раз дифференцируемая функция $x(t)\!$, удовлетворяющая уравнению во всех точках своей области определения. Обычно существует целое множество таких функций, и для выбора одного из них требуется наложить на него дополнительные условие: например, потребовать, чтобы решение принимало в данной точке данное значение.

Основные задачи и результаты теории дифференциальных уравнений: существование и единственность решения различных задач для ОДУ, методы решения простейших ОДУ, качественное исследование решений ОДУ без нахождения их явного вида.

Примеры

• Одно из простейших применений дифференциальных уравнений — решение нетривиальной задачи нахождения траектории тела по известным проекциям ускорения. Например, в соответствии со вторым законом Ньютона, ускорение тела пропорционально сумме действующих сил; соответствующее дифференциальное уравнение имеет вид $m \ddot{x}= F(x,t)$. Зная действующие силы (правая часть), можно решить это уравнение и, учитывая начальные условия (координаты и скорость в начальный момент времени), найти траекторию движения точки.
• Дифференциальное уравнение y' = y, вместе с начальным условием y(0) = 1, задаёт экспоненту: y(x) = e^x. Если x обозначает время, то эта функция описывает рост популяции в условиях неограниченности ресурсов.
• Решением дифференциального уравнения y' = f(x), правая часть которого не зависит от неизвестной функции, является неопределённый интеграл: $y(x)=\int\! f(x)\,dx+C$, где C — произвольная константа.

Дифференциальные уравнения первого порядка

Уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение $\dot{y} = f(x,y)$ называется уравнением с разделяющимися (отделяющимися) переменными, если его правая часть представима в виде f(x,y) = f₁(x)f₂(y). Тогда, в случае $f_2(y)\neq 0$, общим решением уравнения является $\int\!\frac{dy}{f_2(y)} = \int\! f_1(x)\,dx$.

Примеры физических задач, приводящих к уравнениям с разделяющимися переменными

Охлаждение тела

Пусть T — температура тела, T₀ — температура окружающей среды (T > T₀). Пусть Q — количество теплоты, c — удельная теплоёмкость. Тогда количество теплоты передаваемое окружающей среде до выравнивания температур выражается формулой Q = mc(T − T₀), или, в дифференциальной форме, $dQ = mc\,dT$. С другой стороны скорость отдачи тепла можно выразить в виде $dQ = -k(T-T_0)\,dt$, где k — некий коэффициент пропорциональности. Исключая из этих двух уравнений dQ получаем уравнение с разделяющимися переменными:

$mc\,dT = -k(T-T_0)\,dt$.

Общим решением этого уравнения является семейство функций $T = T_0+C e^{-\frac{kt}{mc}}$.

Однородные уравнения

Дифференциальное уравнение $\dot{y} = f(x,y)\!$ называется однородным, если $f(x, y)\!$ — однородная функция нулевой степени. Функция $f(x, y)\!$ называется однородной степени $k\!$, если для любого $\lambda > 0\!$ выполняется равенство $f(\lambda x, \lambda y) = \lambda ^ k f(x,y)\!$.

Замена $y(x) = xz(x)\!$ приводит при $x > 0\!$ однородное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными:

$f(x, xz) = x^{0} f(1, z) = f(1, z)\!$

$\dot{y} = x \dot{z} + z\!$

Подставив в исходное уравнение, получаем:

$\dot{z} = \frac{1}{x} (f(1, z) - z)\!$,

что является уравнением с разделяющимися переменными.

Квазиоднородные уравнения

Дифференциальное уравнение $\dot{y} = f(x,y)\!$ называется квазиоднородным, если для любого $\lambda > 0\!$ выполняется соотношение $f\left(\lambda ^ \alpha x, \lambda ^ \beta y\right) = \lambda ^ {\beta - \alpha} f(x, y)\!$.

Данное уравнение решается заменой $y = z ^ {\frac{\beta}{\alpha}}\!$:

$\dot{z} = \frac{\alpha}{\beta} \left(z ^ {- \frac{1}{\alpha}}\right) ^ {\beta - \alpha} f\left(x, z ^ \frac{\beta}{\alpha}\right)$

В силу квазиоднородности, положив $\lambda = z ^ {- \frac{1}{\alpha}}\!$, получаем:

$\left(z ^ {- \frac{1}{\alpha}}\right) ^ {\beta - \alpha} f \left(x, z ^ \frac{\beta}{\alpha}\right) = f\left(\frac{x}{z}, 1\right)$

$\dot{z} = \frac{\alpha}{\beta} f\left(\frac{x}{z}, 1\right)$,

что, очевидно, является однородным уравнением.

Линейные уравнения

Дифференциальное уравнение $\dot{y} + a(x)y = b(x)\!$ называется линейным и может быть решено двумя методами: методом интегрирующего множителя или методом вариации постоянной.

Метод интегрирующего множителя

Пусть задана функция $\mu(x)\!$ - интегрирующий множитель, в виде:

$\mu(x) = e ^ {\int\! a(x)\,dx}\!$

Умножим обе части исходного уравнения на $\mu(x)\!$, получим:

$\dot{y}e ^ {\int\!a(x)\,dx} + ya(x) e ^ {\int\! a(x)\,dx} = b(x) \mu (x)\!$

Легко заметить, что левая часть является производной функции $\mu(x) y(x)\!$ по $x\!$. Поэтому уравнение можно переписать:

$(\mu (x) y(x))' = b(x) \mu (x)\!$

Проинтегрируем:

$y(x) \mu(x) = \int\!b(x) \mu (x)\,dx + C\!$

Таким образом, решение линейного уравнения будет:

$y(x) = e ^ {- \int\! a(x)\,dx}\left(\int\! b(x) \mu (x)\,dx + C\right)\!$

Метод вариации постоянной (метод Лагранжа)

Рассмотрим однородное уравнение $\dot{y} + a(x)y = 0\!$. Очевидно, это уравнение с разделяющимися переменными, его решение:

$y(x) = ce ^ {-\int\!a(x)\,dx}\!$

Решения исходного уравнения будем искать в виде:

$y(x) = c(x)e ^ {-\int\!a(x)\,dx}\!$

Подставив полученное решение в исходное уравнение:

$\dot{c} = b(x) e ^ {\int\!a(x)\,dx}\!$,

получаем:

$c(x) = c_1 + \int\!b(x) e ^ {\int\!a(x)\,dx}\,dx\!$,

где c₁ — произвольная константа.

Таким образом, решение исходного уравнения можно получить путем подстановки $c(x)\!$ в решение однородного уравнения:

$y(x) = e ^ {-\int\! a(x)\,dx}\left(c_1 + \int\! b(x)e ^ {\int\! a(x)\,dx}\,dx\right)$

Уравнение Бернулли

Дифференциальное уравнение $\dot{y} + a(x) y = b(x) y^n$ называется уравнением Бернулли, если n — действительное число, отличающееся от 0 и 1, так как при n = 0 и n = 1 уравнение обращается в линейное. Данное уравнение решается двумя способами:

Первый способ

Заменой

$z = y ^ {1-n}\!$.

уравнение приводится к линейному

$\frac{1}{1-n} \dot{z} + a(x) z = b(x)$

и может быть решено методом Лагранжа (вариации постоянной) или методом интегрирующего множителя.

Второй способ

Заменим

y = uv.

Тогда

$\dot{u}v + u(\dot{v} + a(x) v) = b(x) (uv)^n$.

Подберем $v(x) \not\equiv 0$ так, чтобы было

$\dot{v} + a(x) v = 0\!$

для этого достаточно решить уравнение с разделяющимися переменными 1-го порядка.
После этого для определения $u\!$ получаем уравнение $\frac{\dot{u}}{u^n} = b(x)v^{n-1}$ — уравнение с разделяющимися переменными.

См. также

• Автономная система дифференциальных уравнений
• Дифференциальное уравнение в частных производных
• Матрицант
• Для решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений используется Метод Лагранжа.
• Метод Эйлера
• Метод Рунге — Кутта

Литература

• Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000. С. 176. ISBN 5-93972-008-0