Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка

Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка — класс дифференциальных уравнений первого порядка, наиболее легко поддающихся решению и исследованию. К нему относятся уравнения в полных дифференциалах, уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения первого порядка и линейные уравнения первого порядка. Все эти уравнения можно проинтегрировать в конечном виде.

Отправной точкой изложения будет служить дифференциальное уравнение первого порядка, записанное в т. н. симметричной форме:

$\begin{matrix}P(t,x)dt+Q(t,x)dx=0\end{matrix}\qquad(1),\!$

где функции $P(t,x)$ и $Q(t,x)$ определены и непрерывны в некоторой области $\Omega\subseteq\mathbb{R}^2_{t,x}$.

Уравнения в полных дифференциалах

Если в уравнении (1) левая часть представляет собой полный дифференциал, то есть $\begin{matrix}P(t,x)dt+Q(t,x)dx=dU(t,x)\end{matrix}\!$, то такое уравнение называется уравнением в полных дифференциалах (частный случай так называемого пфаффова уравнения). Интегральные кривые такого уравнения суть линии уровней функции $\,U(t,x)$, т.е. определяются уравнением $U(t,x)=C\!$ при всевозможных значениях произвольной постоянной $C\!$.

Если в области $\Omega\!$ выполнено условие $Q(t,x)\ne0\!$ , то общее решение уравнения (1) определяется из уравнения $U(t,x)=C\!$ как неявная функция $x=\varphi(t,C)\!$. Через каждую точку области $\Omega\!$ проходит единственная интегральная кривая $x=\varphi(t,C)\!$ уравнения (1).

Если рассматриваемая область $\Omega\!$ односвязна, а производные $\frac{\partial P}{\partial x},\frac{\partial Q}{\partial t}$также непрерывны в $\Omega\!$, то для того, чтобы (1) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно выполнения условия

$\frac{\partial P}{\partial x}=\frac{\partial Q}{\partial t} \qquad \forall(t,x)\in\Omega$

(признак уравнения в полных дифференциалах).

Интегрирующий множитель

Непрерывная функция $\mu(t,x)\ne0\!$ в $\Omega\!$ называется интегрирующим множителем уравнения (1), если уравнение $\mu(Pdt+Qdx)=0\!$ является уравнением в полных дифференциалах, то есть $\mu(Pdt+Qdx)=dU\!$ для некоторой функции $U(t,x)\!$. Число интегрирующих множителей данного уравнения бесконечно.

Функция $\mu(t,x)\!$ является интегрирующим множителем уравнения (1) тогда и только тогда, когда она удовлетворяет уравнению

$\frac{\partial{\left(\mu P\right)}}{\partial x}=\frac{\partial{\left(\mu Q\right)}}{\partial t}\qquad \left(2\right)$

(область $\Omega\!$ по-прежнему полагаем односвязной; уравнение (2) является следствием признака уравнения в полных дифференциалах).

Уравнение (2) в общем виде решается сложнее, чем (1), но для интегрирования (1) достаточно знать один интегрирующий множитель, то есть найти какое-либо одно решение уравнения (2). Обычно ищут решение (2) в виде $\mu=\mu(t)\!$ или $\mu=\mu(x)\!$, но это не всегда возможно.

Алгоритм решения

(1) $\begin{matrix}P(t,x)dt+Q(t,x)dx=0\end{matrix}\!$

(2) $\begin{matrix}P'_x(t,x)=Q'_t(t,x)\end{matrix}\!$

(3) $\begin{matrix}U'_t=P(t,x) , U'_x=Q(t,x)\end{matrix}\!$

Возьмём (3).1 и проинтегрируем по переменной t:

(*) $\begin{matrix}U(t,x)=\int P(t,x) dt+\varphi(x)\end{matrix}\!$

Подставим в (3).2:

$\begin{matrix}U'_x(t,x)=(\int P(t,x) dt)'_x+\varphi'_x(x)\end{matrix}\!$

В получившемся равенстве слагаемые, содержащие t, уничтожатся. Получим: $\begin{matrix}\varphi'_x(x)=g(x)\end{matrix}\!$. Проинтегрируем по x и подставим в (*).

Уравнения с разделяющимися переменными

Если в уравнении (1) $P(t,x)=T_1(t)X_1(x),\ Q(t,x)=T_2(t)X_2(x)\!$, то это уравнение с разделяющимися переменными. Его можно записать в симметричном виде:

$T_1(t)X_1(x)dt+T_2(t)X_2(x)dx=0\qquad \left(3\right)\!$

• Решения уравнения с разделяющимися переменными
  • Решения уравнения $X_1(x)T_2(t)=0\!$ являются решениями (3).
  • Если область $\Omega\!$ выбрана так, что $X_1(x)T_2(t)\ne0\quad\forall(t,x)\in \Omega$, то разделив на $X_1(x)T_2(t)\!$ получим уравнение с разделёнными переменными

$\frac{T_1}{T_2}dt+\frac{X_2}{X_1}dx=0.$

Это частный случай уравнения в полных дифференциалах. Для него очень просто получить решение в квадратурах. Интегральная кривая уравнения (3), проходящая через точку $(t_0,x_0)\in\Omega\!$, имеет вид:

$\int\limits_{t_0}^{t}{\frac{T_1}{T_2}dt}+\int\limits_{x_0}^{x}{\frac{X_2}{X_1}dx}=0.$

Пример дифференциального уравнения

$y'= \frac{y}{x} + cos^2\frac{y}{x}$

Для улучшения этой статьи по математике желательно?: Переработать оформление в соответствии с правилами написания статей. Исправить статью согласно стилистическим правилам Википедии. Викифицировать статью. Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.