Автономная система дифференциальных уравнений

Автономная система дифференциальных уравнений (другое название: стационарная система дифференциальных уравнений) — частный случай системы дифференциальных уравнений, когда аргумент $t$ системы не входит явным образом в функции, задающие систему.

Автономная система в нормальном виде имеет вид:
$\frac{dx_k}{dt} = f_k(x_1, ..., x_n),\,k = 1, ..., n$

или в векторной записи:
$\frac{d\bar{x}}{dt} = \bar{f}(\bar{x})$

Приведение к автономному виду

Любую систему дифференциальных уравнений можно свести к автономной, введя дополнительную вспомогательную функцию $x_{n+1}$, заменив ею аргумент $t$ там, где он входит явно, и дополнив систему ещё одним уравнением $\frac{dx_{n+1}}{dt} = 1$. Такая замена, однако, имеет преимущественно теоретическое значение, так как увеличивает размерность системы с $n$ на $n+1$, что усложняет структуру семейства решений.

Свойства автономной системы

Если $\bar{x} = \bar{x}(t)$ - решение автономной системы дифференциальных уравнений (в векторном виде), то эта функция остаётся решением и при сдвиге аргумента. Автономная система моделирует автономные процессы, т.е. процесс, не подверженные внешним влияниям, и стационарные процессы, т.е. процессы, установившиеся во времени. Все эти процессы полностью определяются начальными значениями переменных состояния, т.е. $x_1,\dots,x_n$, и не зависят от выбора начального значения аргумента $t$.

См. также

• Однородная система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
• Однозначная разрешимость задачи Коши для системы линейных дифференциальных уравнений
• Отклонение решений автономной системы

Ссылки

• В.И.Арнольд. Обыкновенные дифференциальные уравнения.