Удвоение куба

Удвоение куба — классическая античная задача на построение циркулем и линейкой ребра куба, объём которого вдвое больше объёма заданного куба.

Наряду с трисекцией угла и квадратурой круга, является одной из самых известных неразрешимых задач на построения с помощью циркуля и линейки.

История

Согласно античной легенде, однажды на острове Делос разразилась эпидемия чумы. Жители острова обратились к дельфийскому оракулу, и тот сообщил, что необходимо удвоить жертвенник святилища, который имел форму куба. Жители Делоса соорудили ещё один такой же куб и поставили его на первый, но эпидемия не прекратилась. После повторного обращения оракул разъяснил, что удвоенный жертвенник также должен иметь форму куба.

С тех пор делийской задачей занимались лучшие математики античного мира, было предложено несколько решений, однако никто не смог выполнить такое построение, используя только циркуль и линейку, поэтому постепенно сложилось общее убеждение в неразрешимости такой задачи. Ещё Аристотель в IV веке до н. э. писал: «Посредством геометрии нельзя доказать, что… два куба составляют один куб»^[1].

Попытки решения

• Гиппократ Хиосский (конец V в. до н. э.) показал, что задача сводится к нахождению двух средних пропорциональных между одним отрезком и другим, вдвое большим его. В современных обозначениях — к нахождению $x$ и $y$ таких, что

  $\frac{a}{x} = \frac{x}{y} = \frac{y}{2a}$. Отсюда $x^3=2a^3$.

• Архит Тарентский (начало IV в. до н. э.) предложил решение, основанное на пересечении тора, конуса и кругового цилиндра.

• Платон (первая половина IV в. до н. э.) предложил механическое решение, основанное на построении трёх прямоугольных треугольников с нужным соотношением сторон.

• Менехм (середина IV в. до н. э.) нашёл два решения этой задачи, основанные на использовании конических сечений. В первом решении отыскивается точка пересечения двух парабол, а во втором — параболы и гиперболы.

• Эратосфен (III в. до н. э.) предложил ещё одно решение, в котором используется специальный механический инструмент — мезолябия, а также описал решения своих предшественников.

• Никомед (II в. до н. э.) использовал для решения этой задачи метод вставки, выполняемой с помощью специальной кривой — конхоиды.

• Группа схожих между собой решений, принадлежащих Аполлонию, Филону Византийскому и Герону, также использует метод вставки.

• В ещё одной группе схожих между собой решений, принадлежащих Диоклу, Паппу и Спору, используется та же идея, что и в решении Платона, при этом Диокл применяет для построения специальную кривую — циссоиду.

Свои решения также предложили Виет, Декарт, Грегуар де Сен-Венсан, Гюйгенс, Ньютон.

Неразрешимость

В современных обозначениях, задача сводится к решению уравнения $x^3 = 2a^3$. Решение имеет вид $x = a \sqrt[3] 2$. Всё сводится к проблеме построения отрезка длиной $\sqrt[3] {2}$. П. Ванцель доказал в 1837 году, что эта задача не может быть решена с помощью циркуля и линейки.

Хотя удвоение куба неразрешимо с помощью циркуля и линейки, его можно осуществить, если помимо циркуля и линейки использовать некоторые дополнительные инструменты. Например, удвоение куба возможно осуществить построением с помощью плоского оригами.

Решение с помощью дополнительных средств

Удвоение куба с помощью невсиса

Рис. 1 Удвоение куба с помощью невсиса

Возьмём равносторонний треугольник MPN со стороной a, продлим сторону PN и на расстоянии a от точки N построим точку R (рис. 1). Продлим влево отрезки NM и RM. Возьмём линейку невсиса с диастемой a и используя прямую NM в качестве направляющей, точку P в качестве полюса и прямую RM в качестве целевой линии, построим отрезок AB. Длина отрезка BP соответствует стороне куба удвоенного объёма по сравнению с кубом со стороной a.

Литература

• Глейзер Г. И. История математики в школе. — М.: Просвещение, 1964. — С. 324-325.
• Прасолов В. В.. Три классические задачи на построение. Удвоение куба, трисекция угла, квадратура круга. М.: Наука, 1992. 80 с. Серия «Популярные лекции по математике», выпуск 62.
• Щетников А. И. Как были найдены некоторые решения трёх классических задач древности? Математическое образование, № 4 (48), 2008, с. 3–15.

Примечания

1. ↑ Аристотель. Вторая аналитика, часть I, гл. 7. М.: Госполитиздат, 1952.