Куча (структура данных)

Эта статья — о структуре данных в программировании. О динамической области распределения памяти см. Динамически распределяемая память.

Пример полной бинарной кучи.

В компьютерных науках ку́ча — это специализированная структура данных типа дерево, которая удовлетворяет свойству кучи: если B является узлом-потомком узла A, то ключ(A) ≥ ключ(B). Из этого следует, что элемент с наибольшим ключом всегда является корневым узлом кучи, поэтому иногда такие кучи называют max-кучами (в качестве альтернативы, если сравнение перевернуть, то наименьший элемент будет всегда корневым узлом, такие кучи называют min-кучами). Не существует никаких ограничений относительно того, сколько узлов-потомков имеет каждый узел кучи, хотя на практике их число обычно не более двух. Куча является максимально эффективной реализацией абстрактного типа данных, который называется очередью с приоритетом. Кучи имеют решающее значение в некоторых эффективных алгоритмах на графах, таких как алгоритм Дейкстры и сортировка методом пирамиды.

Структуру данных куча не следует путать с понятием куча в динамическом распределении памяти. Впервые термин использовался именно для структур данных. В некоторых ранних популярных языках программирования типа ЛИСП обеспечивалось динамическое распределение памяти с использованием структуры данных «куча», которая и дала своё имя выделяемому объёму памяти.^[1].

Кучи обычно реализуются в виде массивов, что исключает наличие указателей между её элементами.

Над кучами обычно проводятся следующие операции:

• найти максимум или найти минимум: найти максимальный элемент в max-куче или минимальный элемент в min-куче, соответственно
• удалить максимум или удалить минимум: удалить корневой узел в max- или min-куче, соответственно
• увеличить ключ или уменьшить ключ: обновить ключ в max- или min-куче, соответственно
• добавить: добавление нового ключа в кучу.
• слияние: соединение двух куч с целью создания новой кучи, содержащей все элементы обеих исходных.

Варианты

• 2-3 куча
• Двуродительская куча
• Двоичная куча
• Биномиальная куча
• Очередь Бродала
• Куча с D потомками
• Фибоначчиева куча
• Куча с приоритетом самого левого
• Спаренная куча
• Асимметричная куча
• Мягкая куча
• Тернарная куча
• Декартово дерево

Сравнение теоретических оценок вариантов

Ниже приведены оценки временно́й сложности вычислений для операций над некоторыми видами кучи.^[1] Там, где значение отмечено звездочкой, оценка сделана методом амортизационного анализа (по наихудшему времени), в остальных случаях оценка является регулярным худшим случаем. O(F) даёт асимптотическую верхнюю границу, а Θ(F) является асимптотически точной оценкой (см. обозначения «O» большое и «o» малое). Имена операций выбраны для min-кучи.

Операция	Двоичная	Биномиальная	Фибоначчиева	Спаренная[2]	Бродал
найти минимум	Θ(1)	Θ(log n) or Θ(1)	Θ(1)[1]	Θ(1)	Θ(1)
удалить минимум	Θ(log n)	Θ(log n)	O(log n)*	O(log n)*	O(log n)
добавить	Θ(log n)	O(log n)	Θ(1)	O(1)*	Θ(1)
уменьшить ключ	Θ(log n)	Θ(log n)	Θ(1)*	O(log n)*	Θ(1)
слияние	Θ(n)	O(log n)**	Θ(1)	O(1)*	Θ(1)

(*) Амортизационное время
(**) Где n — размер наибольшей кучи

Заметим, что «очередь Бродала» представляет собой реализацию очереди с параллельным приоритетом, разработанную группой во главе с Гертом Бродалом.^[3]

Применение

Структуры данных типа кучи имеют множество применений.

• Пирамидальная сортировка: один из лучших применяемых методов сортировки, не имеющий квадратичных наихудших сценариев.
• Алгоритмы поиска: при использовании кучи поиск минимума, максимума, того и другого, медианы или k-того наибольшего элемента может быть сделан за линейное время (часто даже за константное время).^[4]
• Алгоритмы на графах: Применение кучи в качестве структуры данных для внутреннего обхода даёт сокращение времени выполнения на полиномиальный порядок. Примерами таких проблем являются алгоритм построения минимального остовного дерева Прима и проблема кратчайшего пути Дейкстры.

Полная и почти полная бинарная куча может быть представлена ​​очень эффективным способом с помощью индексного массива. Первый (или последний) элемент будет содержать корень. Следующие два элемента массива содержат узлы-потомки корня. Следующие четыре элемента содержат четверых потомков от двух узлов — потомков корня, и т.д. Таким образом, потомки узла уровня n будут расположены на позициях 2n и 2n+1 для массива, индексируемого с единицы, или на позициях 2n+1 и 2n+2 для массива, индексируемого с нуля. Это позволяет перемещаться вверх или вниз по дереву, выполняя простые вычисления индекса массива. Балансировка кучи делается перестановкой элементов, которые нарушают порядок. Поскольку мы можем построить кучу с помощью массива без дополнительной памяти (для узлов, например), то можно использовать пирамидальную сортировку для сортировки массива прямо на месте.

Реализации

• Стандартная библиотека шаблонов языка C++ предоставляет методы управления кучей make_heap, push_heap и pop_heap (обычно реализуются бинарные кучи), которые оперируют с итераторами произвольного случайного доступа. Методы используют итераторы как ссылки на массивы и выполняют преобразование массив-куча.
• Набор шаблонов Java платформы Java 2 (начиная с версии 1.5) предоставляет реализацию бинарной кучи в классе java.util.PriorityQueue<E>.
• Python имеет модуль heapq, который реализует очереди с приоритетами с помощью бинарной кучи. ^[5]
• Начиная с версии 5.3 PHP в стандартной библиотеке имеются методы maxheap (SplMaxHeap) и minheap (SplMinHeap).
• В Perl имеются реализации бинарной, биномиальной и фибоначчиевой куч во всеобъемлющей сети архивов.^[6]

См. также

• Стек
• Алгоритм сортировки

Примечания

1. ↑ ^{1 2 3} Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest (1990): Introduction to algorithms. MIT Press / McGraw-Hill.
2. ↑ Iacono, John (2000), "Improved upper bounds for pairing heaps", «Proc. 7th Scandinavian Workshop on Algorithm Theory», vol. 1851, Lecture Notes in Computer Science, Springer-Verlag, сс. 63–77, DOI 10.1007/3-540-44985-X_5 
3. ↑ «A Parallel Priority Queue with Constant Time Operations», <http://www.ceid.upatras.gr/faculty/zaro/pub/jou/J9-JPDC-pq.pdf> 
4. ↑ Frederickson, Greg N. (1993), "An Optimal Algorithm for Selection in a Min-Heap", «Information and Computation», vol. 104, Academic Press, сс. 197–214, doi:10.1006/inco.1993.1030, <http://ftp.cs.purdue.edu/research/technical_reports/1991/TR%2091-027.pdf> 
5. ↑ Python heapq
6. ↑ Perl нeap