- Теорема Монтеля о компактном семействе функций
-
Теорема Монтеля об условиях компактности семейства голоморфных функций или принцип компактности:
Пусть ― бесконечное семейство голоморфных функций в области комплексной плоскости ; тогда для того чтобы это семейство было предкомпактным, то есть чтобы из любой последовательности можно было выделить подпоследовательность, равномерно сходящуюся внутри , необходимо и достаточно, чтобы семейство было равномерно ограничено внутри .
Теорема Монтеля обобщается на области в пространстве , .Теорема Монтеля есть следствие теоремы Арцела-Асколи, оценок на производные аналитической функции (неравенства Коши) и сепарабельности всякой области в .
Следствия
- Следствием теоремы Монтеля является следующий факт: Если область компактно лежит в области , тогда оператор ограничения на область D функций, голоморфных в G, компактен (в топологии локально-равномерной сходимости функций).
- Теорема Монтеля используется при доказательстве теоремы Римана о конформном отображении (нужное конформное отображение ищется как то, которое максимизирует модуль производной в некоторой точке, а существование такого отображения следует из непрерывности этого функционала и компактности семейства функций со значениями в единичном круге).
Категории:- Комплексный анализ
- Теоремы
Wikimedia Foundation. 2010.