Комплексно-сопряжённое пространство
- Комплексно-сопряжённое пространство
-
Сопряжённое пространство, двойственное пространство в алгебре и функциональном анализе — термин, применяющийся при описании двойственности линейных пространств.
Как правило, под сопряжённым пространством понимают линейно-сопряжённое пространство, т.е. пространство линейных функционалов.
Линейно-сопряжённое пространство — определение
Для линейных функционалов на линейном пространстве E можно определить операции сложения и умножения на число:
Эти определения удовлетворяют аксиомам линейного пространства. То есть, совокупность всех линейных функционалов на E также образует линейное пространство. Это пространство называется сопряжённым к E, оно обычно обозначается E * .
Свойства
- В конечномерном случае сопряжённое пространство E * имеет ту же размерность, что и пространство E.
- Если пространство E евклидово, то есть на нём определено скалярное произведение, то существует канонический изоморфизм между E и E * .
- В конечномерном случае верно также, что пространство, сопряжённое к сопряжённому E * * , совпадает с E (точнее, существует канонический изоморфизм между E и E * * ).
Обозначения
Обычно элементы пространства E обозначают вектором-строкой, а элементы E * — вектором-столбцом. В тензорном исчислении применяется обозначение xk для элементов E (верхний, или контравариантный индекс) и xk для элементов E * (нижний, или ковариантный индекс).
Трудности в бесконечномерном случае
Попытка прямо применить вышеприведённое определение в случае бесконечномерных линейных пространств приводит к неконструктивным и малополезным алгебраически сопряжённым пространствам. Для важного случая топологических линейных пространств рассматриваются топологически сопряжённые пространства, состоящие только из непрерывных функционалов. Однако, для топологического линейного сопряжения пространство, сопряжённое к сопряжённому, вообще говоря, с исходным не совпадает. Пространства, для которых E * * = E называются рефлексивными — только для них, строго говоря, можно употреблять термин двойственное пространство.
Комплексно-сопряжённое пространство
Термин сопряжённое пространство может иметь иное значение для линейных пространств над полем комплексных чисел: пространство , совпадающее с E как вещественное линейное пространство, но с другой структурой умножения на комплексные числа (см. en:Complex conjugate vector space):
При наличии в пространстве эрмитовой метрики (например, в гильбертовом пространстве) линейно- и комплексно-сопряжённые пространства совпадают.
См. также
Ссылки
Wikimedia Foundation.
2010.
Полезное
Смотреть что такое "Комплексно-сопряжённое пространство" в других словарях:
Сопряжённое пространство — или двойственное пространство пространство линейных функционалов на данном линейном пространстве. Содержание 1 Линейно сопряжённое пространство определение 2 Свойства … Википедия
Двойственное пространство — Сопряжённое пространство, двойственное пространство в алгебре и функциональном анализе термин, применяющийся при описании двойственности линейных пространств. Как правило, под сопряжённым пространством понимают линейно сопряжённое пространство, т … Википедия
Матрица (математика) — У этого термина существуют и другие значения, см. Матрица. Матрица математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля (например, целых, действительных или комплексных чисел), которая представляет… … Википедия
Скалярное произведение — (в зарубежной литературе scalar product, dot product, inner product ) операция над двумя векторами, результатом которой является число (скаляр), не зависящее от системы координат и характеризующее длины векторов сомножителей и угол между… … Википедия
Внутреннее произведение — определённая на векторном пространстве L над полем K симметричная эрмитова форма, рассматриваемая обычно в качестве составной части определения этого пространства[1], делающей пространство (в зависимости от типа пространства и свойств внутреннего … Википедия
Спинор — (англ. spin вращаться) специальное обобщение понятия вектора, применяемое для лучшего описания группы вращений евклидова или псевдоевклидова пространства. Смысл спинорного описания пространства V построение вспомогательного комплексного… … Википедия
Ядро интегрального уравнения — Ядром интегрального оператора называется функция двух аргументов , определяющая некий интегральный оператор равенством где пространство с мерой , а принадлежит некоторому … Википедия
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА — (волновая механика), теория, устанавливающая способ описания и законы движения микрочастиц (элем. ч ц, атомов, молекул, ат. ядер) и их систем (напр., кристаллов), а также связь величин, характеризующих ч цы и системы, с физ. величинами,… … Физическая энциклопедия
Кватернион — Кватернионы (от лат. quaterni, по четыре) система гиперкомплексных чисел, образующая векторное пространство размерностью четыре над полем вещественных чисел. Кватернионы минимальное расширение комплексных чисел, образующее тело,… … Википедия
Кватернионы — (англ. quaternion) это система гиперкомплексных чисел, предложенная У. Р. Гамильтоном в 1843 году. Умножение кватернионов некоммутативно; они образуют тело, которое обычно обозначается . Кватернионы очень удобны для описания изометрий… … Википедия