Категория модулей

Категория модулей ― категория, объекты которой ― правые (левые или двусторонние — по предварительной договорённости) унитарные модули над произвольным ассоциативным кольцом K с единицей, а морфизмы ― гомоморфизмы K-модулей.

Эта категория является важнейшим примером абелевой категории. Более того, для всякой малой абелевой категории существует полное точное вложение в некоторую категорию модулей Свойства категории модулей отражают ряд важных свойств кольца $K$, с этой категорией связан ряд важных свойств кольца, в частности, его гомологические размерности и отчасти — внутреннюю структуру. Категория модулей над коммутативным конечнопорождённым кольцом содержит всю алгебро-геометрическую характеристику аффинной схемы спектра кольца (одна из теорем Серра).

Категории модулей над разными кольцами могут быть эквивалентны (то есть, иметь одинаковый набор классов изоморфных объектов, находящихся в том же отношении между собой). В этом случае говорят, что соответствующие кольца эквивалентны по Морите. Например, эквивалентны между собой категории модулей над алгебрами матриц разного порядка, но общим полем. Все они эквивалентны категории пространств над тем же полем.

Примеры

• Если $K=\Z$ ― кольцо целых чисел, то категория модулей есть категория абелевых групп.
• Если $K=F$ есть поле, то категория модулей есть категория векторных пространств над $F$.

Литература

• Фейс К. Алгебра: Кольца, модули, категории, том 1,2. — М.: «Мир», 1977-79, — 688 с.+464 с.
• Каш Ф. Модули и кольца. — М.: «Мир», 1981, — 368 с.
• Ламбек И. Кольца и модули. — М.: «Мир», 1971, — 280 с.