Теорема Лиувилля об ограниченных целых аналитических функциях

У этого термина существуют и другие значения, см. Теорема Лиувилля.

Теорема Лиувилля об ограниченных целых аналитических функциях: если целая функция $f(z)$ комплексных переменных $z= (z_1, . . ., z_n)$ ограничена, то есть

$|f(z)|\leqslant M<\infty$

то $f(z)$ есть константа.

Обобщения

• Если $f(z)$ ― целая функция в $\mathbb C^n$ и для некоторого $r\in \R$,

$|f(z)|\leqslant C(1+|z|^r)$

то $f(z)$ есть многочлен по переменным $(z_1,\dots, z_n)$ степени не выше $r$.

• Если $u(x)$ ― вещественная гармоническая функция во всём числовом пространстве $\R^n$,

$u(x)<C(1 + |x|^r)$

то $u(x)$ есть гармонический многочлен по переменным.

История

Это предложение, одно из основных в теории аналитических функций, впервые, по-видимому, было опубликовано в 1844 Коши для случая $n = 1$. Лиувилль излагал его на лекциях в 1847, откуда и произошло название.

Доказательство (для случая $\mathbb C^1$)

Пусть $f(z)$ ограничена на комплексной плоскости, то есть

$\exist M \forall z |f(z)| \le M$

Воспользуемся интегральной формулой Коши для производной $f(z)$

$f^\prime(z)=\frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{C_R}\frac{f(\xi)}{(\xi-z)^2}d\xi$ Где $C_R$ — окружность радиуса $R$, содержащая точку $z$.

Имеем

$|f^\prime(z)| \le \frac{1}{2\pi}\frac{M}{R^2}2\pi R = \frac{M}{R}$

Отсюда, в силу того, что интегральная формула Коши справедлива для любого контура, имеем $\lim_{R \to \infty}\frac{M}{R}=0$

А значит $f^\prime(z)=0$ и, следовательно, $f(z)$ является константой. Теорема доказана.

Для улучшения этой статьи по математике желательно?: Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное. Добавить иллюстрации.