Двойственное пространство

Сопряжённое пространство, двойственное пространство в алгебре и функциональном анализе — термин, применяющийся при описании двойственности линейных пространств.

Как правило, под сопряжённым пространством понимают линейно-сопряжённое пространство, т.е. пространство линейных функционалов.

Линейно-сопряжённое пространство — определение

Для линейных функционалов на линейном пространстве E можно определить операции сложения и умножения на число:

• $f = f_1 + f_2\colon\ f(x) = f_1(x) + f_2(x)$
• $f = \alpha f_1\colon\ f(x) = \alpha f_1(x)$

Эти определения удовлетворяют аксиомам линейного пространства. То есть, совокупность всех линейных функционалов на E также образует линейное пространство. Это пространство называется сопряжённым к E, оно обычно обозначается E ^* .

Свойства

• В конечномерном случае сопряжённое пространство E ^* имеет ту же размерность, что и пространство E.
• Если пространство E евклидово, то есть на нём определено скалярное произведение, то существует канонический изоморфизм между E и E ^* .
• В конечномерном случае верно также, что пространство, сопряжённое к сопряжённому E ^{* *} , совпадает с E (точнее, существует канонический изоморфизм между E и E ^{* *} ).

Обозначения

Обычно элементы пространства E обозначают вектором-строкой, а элементы E ^* — вектором-столбцом. В тензорном исчислении применяется обозначение x^k для элементов E (верхний, или контравариантный индекс) и x_k для элементов E ^* (нижний, или ковариантный индекс).

Трудности в бесконечномерном случае

Попытка прямо применить вышеприведённое определение в случае бесконечномерных линейных пространств приводит к неконструктивным и малополезным алгебраически сопряжённым пространствам. Для важного случая топологических линейных пространств рассматриваются топологически сопряжённые пространства, состоящие только из непрерывных функционалов. Однако, для топологического линейного сопряжения пространство, сопряжённое к сопряжённому, вообще говоря, с исходным не совпадает. Пространства, для которых E ^{* *} = E называются рефлексивными — только для них, строго говоря, можно употреблять термин двойственное пространство.

Комплексно-сопряжённое пространство

Термин сопряжённое пространство может иметь иное значение для линейных пространств над полем комплексных чисел: пространство $\bar E$, совпадающее с E как вещественное линейное пространство, но с другой структурой умножения на комплексные числа (см. en:Complex conjugate vector space):

${\bar c} {\bar x} = \overline{cx}$

При наличии в пространстве эрмитовой метрики (например, в гильбертовом пространстве) линейно- и комплексно-сопряжённые пространства совпадают.

См. также

Ссылки