- Группа бордизмов
-
Бордизм, также бордантность — термин топологии, употребляющийся самостоятельно или в составе стандартных словосочетаний в нескольких родственных смыслах, почти во всех из них вместо бордизм раньше говорили о кобордизмах, старая терминология тоже сохранилась.
Содержание
Неориентированные бордизмы
Неориентированные бордизмы — простейший вариант бордизмов. Два гладких замкнутых n-мерных многообразия M и M' бордантны (ограничивают, или внутренне гомологичны), если существует гладкое компактное (n + 1)-мерное многообразие W (называемое плёнка), край которого состоит из двух многообразий M и M', (или точнее многообразий M0 и M1 диффеоморфных, соответственно, M и M' посредством некоторых диффеоморфизмов и ). Совокупность многообразий, бордантных друг другу, называется классами бордизмов, а тройку (W,M0,M1) называют бордизмом (точнее было бы говорить о пятёрке (W,M0,M1,g0,g1)). Множество классов бордизмов n-мерных многообразий образует абелеву группу относительно несвязного объединения, называемую группой бордизмов. Нулем в ней служит класс бордизмов, состоящих из многообразий, которые являются границей некоторого многообразия (другие названия: M — ограничивающее многообразие, M — внутренне гомологично, или бордантно нулю). Элементом обратным данному классу бордизмов, является сам этот класс (так как объединение двух копий M диффеоморфно границе прямого произведения ). Прямая сумма групп является коммутативным градуированным кольцом, умножение в котором индуцировано прямым произведением многообразий, с единицей, заданной классом бордизмов точки.
Бордизмы с дополнительной структурой
Ориентированные бордизмы
Ориентированные бордизмы — наиболее простой тип бордизмов гладких замкнутых многообразий с дополнительной структурой. Два ориентированных многообразия M и M' ориентированно бордантны, если они бордантны в прежнем смысле, причём плёнка W ориентирована, и (в прежних обозначениях) ориентация, индуцированная ориентацией W на M0 и M1 (как на частях края), переходит при диффеоморфизмах g0 и g1, соответственно, в исходную ориентацию M и в ориентацию, противоположную исходной ориентации M'. Аналогично , и вводятся группы ориентированных бордизмов и кольцо .
Другие варианты
Другие варианты бордизмов многообразий с дополнительной структурой — очень важные бордизмы квазикомплексных многообразий (называемые также унитарными бордизмами), бордизмы многообразий, на которых действует группа преобразований, Spin-бордизмы. Имеются также варианты несколько иного рода, для кусочно линейных или топологических многообразий, для комплексов Пуанкаре и т. д. Особое положение занимают бордизмы слоений и h-бордизмы (ранее называемые J-эквивалентностями); последние служат для связи дифференциальной и гомотопической топологии.
Свойства
- Два многообразия бордантны, тогда и только тогда, когда у них совпадают характеристические числа (числа Штифеля — Уитни в неориентируемом случае и числа Штифеля — Уитни и числа Понтрягина — в ориентируемом).
История
Первый пример — бордизм оснащённых многообразий, введённый в 1938 году Понтрягиным, который показал, что классификация этих бордизмов эквивалентна вычислению гомотопических групп сфер πi(Sn), и таким путём смог найти πn + 1(Sn) и πn + 2(Sn). Неориентированные и ориентированные бордизмы были введены в 1951—53 годах Рохлиным, вычислившим для . Понтрягин доказал, что если два многообразия бордантны, то у них совпадают характеристические числа Впоследствии оказалось, что обратное тоже верно.
Литература
- Милнор Дж., Уоллес А. Дифференциальная топология / Пер. с англ. — М.: Мир, 1972. — 280 с.
См. также
Wikimedia Foundation. 2010.