Производная Ли

Производная Ли тензорного поля $Q$ по направлению векторного поля $X$ — главная линейная часть приращения тензорного поля $Q$ при его преобразовании, которое индуцировано локальной однопараметрической группой диффеоморфизмов многообразия, порождённой полем $X$.

Названа в честь норвежского математика Софуса Ли.

Обычно обозначается $\mathcal{L}_X Q$.

Определения

Аксиоматическое

Производная Ли полностью определяется следующими своими свойствами. Такое определение наиболее удобно для практических вычислений, но требует доказательства существования.

• Производная Ли $\mathcal{L}_X f$ от скалярного поля $f$ есть производная $f$ по направлению $X$.

  $\mathcal{L}_Xf=Xf.$

• Производная Ли $\mathcal{L}_X Y$ от векторного поля $Y$ есть скобка Ли векторных полей.

  $\mathcal{L}_X Y=[X,Y].$

• Для произвольных векторных полей 1-формы $\alpha$ выполняется равенство

  $(\mathcal{L}_X\alpha)(Y)=(d\alpha)(X,Y)+Y\alpha(X).$

• (правило Лейбница) Для произвольных тензорных полей S и T, выполняется

  $\mathcal{L}_X(S\otimes T)=(\mathcal{L}_XS)\otimes T+S\otimes (\mathcal{L}_XT).$

Через поток

Пусть $M^n$ — $n$-мерное гладкое многообразие и $X$ — векторное поле на $M^n$.

Рассмотрим поток $\Gamma^t_X:M\to M$ по $X$, определяемый соотношением: $\frac{d}{dt}\Gamma^t_X(p)=X_{\Gamma^t_X(p)}.$

Обратное отображение к дифференциалу $\Gamma^t_X$,

$(d_p\Gamma^t_X)^{-1}:T_{\Gamma^t_X(p)}\to T_p$

однозначно продолжается до гомоморфизма $h_t$ алгебры тензоров над $T_{\Gamma^t_X(p)}$ в алгебру тензоров над $T_p$. Таким образом произвольное тензорное поле $Q$, однопараметрическое семейство полей $Q_t=h_t(Q)$. Производная Ли может быть определена как

$\mathcal{L}_X Q=\frac{d}{dt}Q_t|_{t=0}$

Выражения в координатах

$\mathcal{L}_\xi f = \xi^k \partial_k f$, где $f$ — скаляр.

$\mathcal{L}_\xi y = \xi^k \partial_k y^i - y^k \partial_k \xi^i$, где $y$ — вектор, а $y^i$ — его компоненты.

$\mathcal{L}_\xi \omega = \xi^k \partial_k \omega_i + \omega_k \partial_i \xi^k$, где $\omega$ — 1-форма, а $\omega_i$ — её компоненты.

$\mathcal{L}_\xi g = \xi^k \partial_k g_{ij} + \partial_i \xi^k g_{kj} + \partial_j \xi^k g_{ik}$, где $g$ — 2-форма (метрика), а $g_{ij}$ — её компоненты.

Производная Ли для тензорного поля в неголономном репере

Пусть тензорное поле К типа (p, q) задано в неголономном репере $\{ e_\alpha \}$, тогда его производная Ли вдоль векторного поля Х задаётся следующей формулой:

$(\mathcal{L}_X K)^{(\alpha)}_{(\beta)} = XK^{(\alpha)}_{(\beta)}-\{ K^{(\alpha)}_{(\beta)}P^*_* \}$,

где $(\alpha)=(\alpha_1 ... \alpha_p),(\beta)=(\beta_1 ... \beta_q)$, и введены следующие обозначения:

$\{ K^{(\alpha)}_{(\beta)}P^*_* \}=\sum^p_{s=1}K^{\alpha_1...\sigma...\alpha_p}_{(\beta)}P^{\alpha_s}_\sigma-\sum^q_{s=1}K^{(\alpha)}_{\beta_1...\sigma...\beta_q}P^{\sigma}_{\beta_s}$,

$P^\alpha_\beta=e_\beta \xi^\alpha-R^\alpha_{\sigma\beta} \xi^\sigma$

$R^\sigma_{\alpha\beta}e_\sigma=[e_\alpha,e_\beta]$ — объект неголономности.

Свойства

• $\mathcal{L}_X (s)$ $\R$-линейно по $X$ и по $s$. Здесь $s$ — произвольное тензорное поле.
• Производная Ли — дифференцирование на кольце тензорных полей.
• На супералгебре внешних форм производная Ли является дифференцированием и однородным оператором степени 0.
• Пусть $v$ и $u$ — векторные поля на многообразии, тогда

$[\mathcal{L}_v, \mathcal{L}_u] = \mathcal{L}_v \mathcal{L}_u - \mathcal{L}_u \mathcal{L}_v$

есть дифференцирование алгебры $C^\infty(M)$, поэтому существует векторное поле $[v,u]$, называемое См. далее)

Физический смысл производной Ли

Пусть векторное поле $V(x, t)$ есть поле скоростей неинерциальной системы отсчёта относительно инерциальной системы отсчёта, то есть в каждой точке пространства $x$ в каждый момент времени $t$ определена скорость координатных сеток этих систем относительно друг друга. Тогда производная Ли вдоль векторного поля $V(x, t)$ переносит производную по времени от каких-либо тензорных полей $Q(x, t)$ из неинерциальной системы отсчёта в инерциальную, тем самым определяя инвариантную производную по времени от тензорных полей.

Обобщения

Естественные расслоения

Пусть $F$ — естественное гладкое расслоение, то есть функтор, действующий из категории гладких многообразий в категорию расслоений над ними: $F\colon M \mapsto (F(M),M,\pi_M),\; \pi_M\colon F(M)\to M$. Произвольное векторное поле $X\in TM$ порождает однопараметрическую группу диффеморфизмов $\Gamma^t: M\to M$, продолжающуюся с помощью $F$ на пространство расслоения $F(M)$, то есть $F(\Gamma^t):F(M)\to F(M)$. Производная этой группы в нуле даёт векторное поле $X^F\in TF(M)$, являющееся продолжением $X$. Группа $F(\Gamma^t)$ также позволяет определить производную Ли по $X$ от произвольных сечений $s:M\to F(M)$ по такой же формуле, как и в классическом случае:

$\mathcal{L}_X (s) = \left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0} F(\Gamma^t)^* s = \left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0} (F(\Gamma^{-t})\circ s \circ \Gamma^t)$

$\mathcal{L}_X (s) = Ts \circ X - X^F \circ s$

Отметим, что в общем случае производная Ли является элементом соответствующего вертикального расслоения $VF(M)$, то есть ядра отображения $T\pi_M: TF(M)\to TM$, так как $T\pi_M \circ \mathcal{L}_X (s) = 0_M$. Если $F$ — векторное расслоение, то существует канонический изоморфизм $vl:F(M)\times_M F(M) \simeq VF(M)$. Оператор вертикального проектирования $vpr_F = \mathrm{pr}_2\circ vl^{-1}$ позволяет представить производную Ли как сечение исходного расслоения:

$\mathcal{L}_X (s) = \mathop{vpr}_F (Ts \circ X - X^F \circ s)$

Производная Ли по формам

Другое обобщение основано на исследовании супералгебры Ли дифференцирований супералгебры внешних форм. Среди всех таких дифференцирований особенно выделяются т. н. алгебраические, то есть те, которые равны 0 на функциях. Любое такое дифференцирование имеет вид $i_K$, где $K\in TM\otimes \Lambda^*(M)$ — тангенциальнозначная форма, а оператор внутреннего дифференцирования $i_K$ определяется по формуле $(\omega \in \Lambda^{p+1} (M))$

$i_K \omega = \mathrm{Alt}(\omega \circ (K\otimes id^{\otimes p}))$

Здесь $\mathrm{Alt}$ — операция альтернирования отображения по всем переменным. Производная Ли по векторнозначной форме $K$ определяется через суперкоммутатор операторов:

$\mathcal{L}_K = [ i_K , d ]$

Её значение определяется тем, что любое дифференцирование $D$ супералгебры $\Lambda^*(M)$ однозначно представимо в виде $D = \mathcal{L}_K + i_S$, где $K$, $S$ — некоторые векторнозначные формы. Кроме того, по формуле $[\mathcal{L}_K, \mathcal{L}_S] = \mathcal{L}_{[K,S]}$ можно ввести скобку Фролиха-Ниенхойса тангенциальнозначных форм.

Литература

• Ш. Кобаяси, К. Номидзу. Основы дифференциальной геометрии. — 1981. — Т. 1. — 344 с.
• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Методы и приложения. — 2-е, перераб. — М.: Наука, 1986. — Т. 1. — 760 с.
• Ivan Kolář, Peter W. Michor, Jan Slovák. Natural operations in differential geometry. — 1-е изд. — Springer, 1993. — 434 с. — ISBN 978-3540562351

См. также

• Поле Киллинга