SU(3)

В математике специальная унитарная группа степени n, обозначаемая SU(n), является группой унитарных матриц n×n с определителем равным 1. Групповая операция — произведение матриц. Специальная унитарная группа является подгруппой унитарной группы U(n), состоящей из всех унитарных матриц n×n.

Генераторы

SU(2)

Для группы SU(2), генераторы известны как матрицы Паули:

$\sigma_1 = \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{pmatrix}$

$\sigma_2 = \begin{pmatrix} 0&-i\\ i&0 \end{pmatrix}$

$\sigma_3 = \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix}$

SU(3)

Аналогом матриц Паули для SU(3) служат матрицы Гелл-Манна:

$\lambda_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$	$\lambda_2 = \begin{pmatrix} 0 & -i & 0 \\ i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$	$\lambda_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
$\lambda_4 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$	$\lambda_5 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & 0 \\ i & 0 & 0 \end{pmatrix}$	$\lambda_6 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$
$\lambda_7 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \end{pmatrix}$	$\lambda_8 = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}$

Генераторы для SU(3) определяются как T с использованием соотношения

$T_a = \frac{\lambda_a}{2} .\,$

Они подчиняются следующим соотношениям

• $\left[T_a, T_b \right] = i \sum_{c=1}^8{f_{abc} T_c} \,$

где f — структурная константа значения которой равны

$f^{123} = 1 \,$

$f^{147} = f^{165} = f^{246} = f^{257} = f^{345} = f^{376} = \frac{1}{2} \,$

$f^{458} = f^{678} = \frac{\sqrt{3}}{2} \,$

• $\operatorname{tr}(T_a) = 0 \,$

Литература

• Quarks & Leptons: An Introductory Course in Modern Particle Physics. — John Wiley & Sons, 1984. — ISBN ISBN 0-471-88741-2

Внешние ссылки

• Physics 558 — Lecture 1, Winter 2003