Вронскиан

Вронскиа́н (определитель Вронского) системы функций $f_1(x),\ldots f_n(x)$, дифференцируемых на промежутке $I$ (n-1)-раз — функция на $I$, задаваемая определителем следующей матрицы:

$W(f_1,\dots f_n)(x) = \det\begin{pmatrix} f_1(x) & f_2(x) &\cdots & f_n(x) \\ f'_1(x) & f'_2(x) & \cdots & f'_n(x) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ f_1^{(n-1)}(x) & f_2^{(n-1)}(x) & \cdots & f_n^{(n-1)}(x) \end{pmatrix};\qquad x\in I,$.

Также вронскианом называют функцию, заданную определителем более общего вида. А именно, пусть задано n вектор-функций $f_1(x), \ldots , f_n(x)$ с n компонентами: $f_i=(f_i^1, \ldots ,f_i^n)$. Тогда определитель будет выглядеть так (чтобы избежать разночтений обозначим его $W_2$):

$W_2(f_1,\dots f_n)(x) = \det\begin{pmatrix} f_1^1(x) & f_2^1(x) &\cdots & f_n^1(x) \\ f_1^2(x) & f_2^2(x) & \cdots & f_n^2(x) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ f_1^n(x) & f_2^n(x) & \cdots & f_n^n(x) \end{pmatrix};\qquad x\in I,$.

Определитель Вронского применяется для решения дифференциальных уравнений, например для того, чтобы узнать, являются ли найденные решения однородного линейного дифференциального уравнения (либо системы уравнений) линейно независимыми. Это помогает в поиске его общего решения.

Свойства

• Если $f_1(x), \ldots , f_n(x)$ — линейно зависимы на $I$, то $W(x)=0,\forall x\in I$.

• Если определитель Вронского на интервале отличается от нуля хотя бы в одной точке, то функции $f_1(x), \ldots , f_n(x)$ являются линейно независимыми (прямое следствие предыдущего свойства). Обратное вообще говоря неверно (см. пример 3), но для случая, когда функции являются решениями дифференциального уравнения будут верны более сильные следствия (см. ниже).

• Если $f_1(x), \ldots , f_n(x)$ - решения линейного однородного дифференциального уравнения $n$-го порядка, то $W(f_1, \ldots ,f_n)$ называется вронскианом этого уравнения. Определитель Вронского однородного дифференциального уравнения либо тождественно равен нулю, и это означает, что $f_1(x), \ldots , f_n(x)$ линейно зависимы, либо не обращается в нуль ни в одной точке $I$, что означает линейную независимость функций $f_1(x), \ldots , f_n(x)$.

• Если $f_1(x), \ldots , f_n(x)$ - решения линейной однородной системы, то $W_2(f_1, \ldots ,f_n)$ либо тождественно равен нулю, и это означает, что $f_1(x), \ldots , f_n(x)$ линейно зависимы, либо не обращается в нуль ни в одной точке $I$, что означает линейную независимость функций $f_1(x), \ldots , f_n(x)$.

• $W'(x) = W_1(x) + W_2(x) + \cdots + W_n(x)$ - где $W_i$ — определитель Вронского, в котором строка с номером i заменена строкой производных:

$W_i(x) = \det\begin{pmatrix} f_{11}(x) & f_{12}(x) &\cdots & f_{1n}(x) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ f_{i1}'(x) & f_{i2}'(x) & \cdots & f_{in}'(x) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ f_{n1}(x) & f_{n2}(x) & \cdots & f_{nn}(x) \end{pmatrix}$

Примеры

• Убедимся, что вронскиан линейно-зависимых функций $1, x^2, 3+2x^2$ равен нулю:

$W(f_1,f_2,f_3)(x) = \begin{vmatrix} 1 & x^2 & 3+2x^2 \\ 0 & 2x & 4x \\ 0 & 2 & 4 \end{vmatrix} = 8x-8x = 0,\qquad x\in\mathbb R.$

• Проверим теперь линейную независимость функций $1,x,x^3$

$W(f_1,f_2,f_3)(x) = \begin{vmatrix} 1 & x & x^3\\ 0 & 1 & 3x^2 \\ 0 & 0 & 6x \end{vmatrix} = 6x, \qquad x\in\mathbb R.$

Есть точки, где вронскиан отличен от нуля (в нашем случае это любая точка, кроме x=0). Поэтому на любом промежутке эти функции будут линейно независимыми.

• Приведём теперь пример, когда вронскиан всюду равен нулю, но функции всё равно линейно независимы. Зададим две функции:

$f_1(x)=x^2;\qquad f_2(x) = \begin{cases} -x^2, & x < 0, \\ x^2, & x \geqslant 0. \end{cases}$

Обе функции всюду дифференцируемы (в том числе в нуле, где производные обеих функций обращаются в ноль). Убедимся, что вронскиан всюду ноль.

$W(f_1,f_2)(x) = \begin{cases} \begin{vmatrix} x^2 & -x^2 \\ 2x & -2x \end{vmatrix} = 0, & \; x < 0, \\[15pt] \begin{vmatrix} x^2 & x^2 \\ 2x & 2x \end{vmatrix} = 0, & \; x \ge 0 \end{cases}$

Однако эти функции, очевидно, являются линейно независимыми. Видим что равенство вронскиана нулю не влечёт за собой линейной зависимости в случае произвольного выбора функций.

См. также

В Викисловаре есть статья «вронскиан»

Общее решение дифференциального уравнения

Формула Лиувилля-Остроградского

Литература

Романко В.К. Главы 5 и 6 // Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления. — 2-е изд. — М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2002. — С. 158-164, 174-177. — (Технический университет). — 3000 экз. — ISBN 5-93208-097-3