Физический маятник

У этого термина существуют и другие значения, см. Маятник.

Физический маятник — осциллятор, представляющий собой твёрдое тело, совершающее колебания в поле каких-либо сил относительно точки, не являющейся центром масс этого тела, или неподвижной оси, перпендикулярной направлению действия сил и не проходящей через центр масс этого тела.

Определения

• $\theta\,$ — угол отклонения маятника от равновесия;
• $\alpha\,$ — начальный угол отклонения маятника;
• $m\,$ — масса маятника;
• $h\,$ — расстояние от точки подвеса до центра тяжести маятника;
• $r\,$ — радиус инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести.
• $g\,$ — ускорение свободного падения.

Момент инерции относительно оси, проходящей через точку подвеса:

$I = m\left(r^2+h^2\right)$.

Дифференциальное уравнение движения физического маятника

Основная статья: Приведённая длина

Пренебрегая сопротивлением среды, дифференциальное уравнение колебаний физического маятника в поле силы тяжести записывается следующим образом:

$I\frac{d^2\theta}{dt^2} = -mgh\sin\theta$.

Полагая $\frac{r^2}{h} + h = l$, предыдущее уравнение можно переписать в виде:

$l\frac{d^2\theta}{dt^2} = -g\sin\theta$.

Последнее уравнение аналогично уравнению колебаний математического маятника длиной $l\,$. Величина $l\,$ называется приведённой длиной физического маятника.

Центр качания физического маятника

Центр качания — точка, в которой надо сосредоточить всю массу физического маятника, чтобы его период колебаний не изменился.

Поместим на луче, проходящем от точки подвеса через центр тяжести точку на расстоянии $l\,$ от точки подвеса. Эта точка и будет центром качания маятника.

Действительно, если всю массу сосредоточить в центре качания, то центр качания будет совпадать с центром масс. Тогда момент инерции относительно оси подвеса будет равен $I = ml^2\,$, а момент силы тяжести относительно той же оси $-mgl\sin\theta\,$. Легко заметить, что уравнение движения не изменится.

Теорема Гюйгенса

Формулировка

Если физический маятник подвесить за центр качания, то его период колебаний не изменится, а прежняя точка подвеса сделается новым центром качания.

Доказательство

Вычислим приведенную длину для нового маятника:

$l_1 = \frac{r^2}{r^2/h} + \frac{r^2}{h} = h + \frac{r^2}{h} = l$.

Совпадение приведённых длин для двух случаев и доказывает утверждение, сделанное в теореме.

Период колебаний физического маятника

Для того, чтобы найти период колебаний физического маятника, необходимо решить уравнение качания.
Для этого умножим левую $l\frac{d^2\theta}{dt^2} = l\frac{d}{dt}\left(\frac{d\theta}{dt}\right)$ и правую часть этого уравнения на $d\theta\,$. Тогда:

$l\frac{d\theta}{dt}d\left(\frac{d\theta}{dt}\right) = -g\sin\theta\, d\theta$.

Интегрируя это уравнение, получаем.

$l\left(\frac{d\theta}{dt}\right)^2 = 2g\cos\theta+C$,

где $C\,$ произвольная постоянная. Её можно найти из граничного условия, что в моменты $\theta = \pm \alpha\,\,\,, \frac{d\theta}{dt} = 0$. Получаем: $C = -2g\cos\alpha\,$. Подставляем и преобразовываем получившееся уравнение:

$\frac{d\theta}{dt} = 2\sqrt{\frac{g}{l}}\sqrt{\sin^2\frac{\alpha}{2}-\sin^2\frac{\theta}{2}}$.

Отделяем переменные и интегрируем это уравнение:

$\sqrt{\frac{g}{l}}t = \int\limits_0^\theta{\frac{d\left(\frac{\theta}{2}\right)}{\sqrt{\sin^2\frac{\alpha}{2}-\sin^2\frac{\theta}{2}}}}$.

Удобно сделать замену переменной, полагая $\sin\frac{\theta}{2} = \sin\frac{\alpha}{2}\sin\varphi$. Тогда искомое уравнение принимает вид:

$t = \sqrt\frac{l}{g}\int\limits_0^\varphi{\frac{d\varphi}{\sqrt{1-\sin^2\frac{\alpha}{2}\sin^2\varphi}}} = \sqrt\frac{l}{g} F\left(\varphi\setminus \alpha/2\right)$.

Здесь $F\left(\varphi\setminus \alpha\right)$ — нормальный эллиптический интеграл Лежандра 1-го рода. Для периода колебаний получаем формулу:

$T = 4\sqrt\frac{l}{g}\,\int\limits_0^{\pi/2}{\frac{d\varphi}{\sqrt{1-\sin^2\frac{\alpha}{2}\sin^2\varphi}}} = 4\sqrt\frac{l}{g}\,K\left(\sin\frac{\alpha}{2}\right)$.

Здесь $K\left(\sin\frac{\alpha}{2}\right)$ — полный нормальный эллиптический интеграл Лежандра 1-го рода. Раскладывая его в ряд, можно получить удобную для практических вычислений формулу:

$T = 2\pi \sqrt\frac{l}{g} \left\{1 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 \sin^{2}\left(\frac{\alpha}{2}\right) + \left(\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}\right)^2 \sin^{4}\left(\frac{\alpha}{2}\right) + \dots + \left[\frac{\left(2n - 1\right)!!}{\left(2n\right)!!}\right]^2 \sin^{2n}\left(\frac{\alpha}{2}\right) + \dots \right\}$.

Период малых колебаний физического маятника

Если амплитуда колебаний $\alpha\,$ мала, то корень в знаменателе эллиптического интеграла приближенно равен единице. Такой интеграл легко берется, и получается хорошо известная формула малых колебаний:

$T = 2\pi\sqrt\frac{l}{g} = 2\pi\sqrt\frac{I}{mgh}$.

Эта формула даёт результаты приемлемой точности (ошибка менее 1 %) при углах, не превышающих 4°.

Следующий порядок приближения можно использовать с приемлемой точностью (ошибка менее 1 %) при углах до 1 радиана (≈60°)

$T \approx 2\pi\sqrt\frac{l}{g} \left( 1 + \frac{1}{4}\sin^{2}\left(\frac{\alpha}{2}\right) \right)$.

См. также

• Математический маятник

Для улучшения этой статьи желательно?: Проставив сноски, внести более точные указания на источники. Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное. Добавить иллюстрации.