Математический маятник

У этого термина существуют и другие значения, см. Маятник.

Математи́ческий ма́ятник — осциллятор, представляющий собой механическую систему, состоящую из материальной точки, находящейся на невесомой нерастяжимой нити или на невесомом стержне в однородном поле сил тяготения^[1]. Период малых собственных колебаний математического маятника длины L неподвижно подвешенного в однородном поле тяжести с ускорением свободного падения g равен

$T = 2\pi \sqrt{L \over g}$

и не зависит^[2] от амплитуды колебаний и массы маятника.

Плоский математический маятник со стержнем — система с одной степенью свободы. Если же стержень заменить на растяжимую нить, то это система с двумя степенями свободы со связью. Пример школьной задачи, в которой важен переход от одной к двум степеням свободы.

При малых колебаниях физический маятник колеблется так же, как математический с приведённой длиной.

Уравнение колебаний маятника

Колебания математического маятника описываются обыкновенным дифференциальным уравнением вида

$\ddot x + \omega^2\ \sin{x} = 0,$

где $\omega$ ― положительная константа, определяемая исключительно из параметров маятника. Неизвестная функция $x(t)$ ― это угол отклонения маятника в момент $t$ от нижнего положения равновесия, выраженный в радианах; $\omega=\sqrt{g/L}$, где $L$ ― длина подвеса, $g$ ― ускорение свободного падения. Уравнение малых колебаний маятника около нижнего положения равновесия (т. н. гармоническое уравнение) имеет вид:

$\ddot x + \omega^2x = 0$.

Решения уравнения движения

Гармонические колебания

Маятник, совершающий малые колебания, движется по синусоиде. Поскольку уравнение движения является обыкновенным ДУ второго порядка, для определения закона движения маятника необходимо задать два начальных условия — координату и скорость, из которых определяются две независимых константы:

$~x = A \sin (\theta_0 + \omega t),$

где $A$ — амплитуда колебаний маятника, $\theta_0$ — начальная фаза колебаний, $\omega$ — циклическая частота, которая определяется из уравнения движения. Движение, совершаемое маятником, называется гармоническими колебаниями

Нелинейный маятник

Для маятника, совершающего колебания с большой амплитудой, закон движения более сложен:

$\sin \frac{x}{2} = \varkappa \cdot \operatorname {sn} (\omega t | \varkappa),$

где $\operatorname {sn}$ — это синус Якоби. Для $\varkappa < 1$ он является периодической функцией, при малых $\varkappa$ совпадает с обычным тригонометрическим синусом.

Параметр $\varkappa$ определяется выражением

$\varkappa = \frac{\varepsilon+\omega^2}{2\omega^2},$

где $\varepsilon = \frac{E}{mL^2}$ — энергия маятника в единицах t⁻².

Период колебаний нелинейного маятника

$T = \frac{2\pi}{\Omega}, \Omega = \frac{\pi}{2}\frac{\omega}{K(\varkappa)},$

где K — эллиптический интеграл первого рода.

Для вычислений практически удобно разлагать эллиптический интеграл в ряд:

$T = T_0 \left\{1 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 \sin^{2}\left(\frac{\alpha}{2}\right) + \left(\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}\right)^2 \sin^{4}\left(\frac{\alpha}{2}\right) + \dots + \left[\frac{\left(2n - 1\right)!!}{\left(2n\right)!!}\right]^2 \sin^{2n}\left(\frac{\alpha}{2}\right) + \dots \right\}$, где $T_0 = 2\pi \sqrt\frac{L}{g}$ — период малых колебаний, $\alpha$ — максимальный угол отклонения маятника от вертикали.

При углах до 1 радиана (≈60°) с приемлемой точностью (ошибка менее 1 %) можно ограничиться первым приближением:

$T = T_0 \left( 1 + \frac{1}{4}\sin^{2}\left(\frac{\alpha}{2}\right) \right)$.

Точная формула периода, с квадратичной сходимостью для любого угла максимального отклонения, обсуждается на страницах 1096-1097 Сентябрьского выпуска заметок американского математического общества 2012 г.^[3]:

$T = \frac{2\pi}{M(\cos(\theta_0/2))} \sqrt\frac{L}{g},$

где $M(x)$ -- арифметико-геометрическое среднее числел 1 и $x$.

Движение по сепаратрисе

Движение маятника по сепаратрисе является непериодическим. В бесконечно далёкий момент времени он начинает падать из крайнего верхнего положения в какую-то сторону с нулевой скоростью, постепенно набирает её, и останавливается, возвратившись в исходное положение.

Интересные факты

Несмотря на свою простоту, математический маятник связан с рядом интересных явлений.

• Если амплитуда колебания маятника близка к π, то есть, движение маятника на фазовой плоскости близко к сепаратрисе, то под действием малой периодической вынуждающей силы система демонстрирует хаотическое поведение. Это одна из простейших механических систем, в которой хаос возникает под действием периодического возмущения.
• Если точка подвеса не неподвижна, а совершает колебания, то у маятника может появиться новое положение равновесия. Если точка подвеса достаточно быстро колеблется вверх-вниз, то маятник приобретает устойчивое положение «вверх тормашками». Такая система называется маятником Капицы.

Примечания

1. ↑ Маятник — Статья в Физическом энциклопедическом словаре
2. ↑ в первом приближении
3. ↑ Adlaj, S. An eloquent formula for the perimeter of an ellipse, Notices of the AMS 59(8), pp. 1096-1097.

Ссылки

• Коллекция Java-апплетов, моделирующая поведение математических маятников, в частности маятника Капицы.
• Java-апплет, моделирующий колебание математического маятника при наличии вязкого трения с черчением фазовой траектории.

См. также

• Физический маятник

Для улучшения этой статьи желательно?: Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.