- Пространство Соболева
-
Пространство Соболева (в математике) — функциональное пространство, состоящее из функций из пространства Лебега (), имеющих обобщенные производные заданного порядка из . При пространства Соболева являются банаховыми пространствами, а при p=2 пространства Соболева являются гильбертовыми пространствами. Для гильбертовых пространств Соболева также принято обозначение .
Для области норма в соболевском пространстве порядка и суммируемых со степенью вводится по следующей формуле:
а при норма выглядит следующим образом:
где — это мультииндекс, а операция есть обобщенная производная по мультииндексу.
Пространства Соболева были введены советским математиком Сергеем Львовичем Соболевым и впоследствии названы его именем.
Введение и история вопроса
Идея об обобщении решений дифференциальных уравнений в частных производных начинает проникать в математическую физику в 20-х годах XX века. С одной стороны, необходимость в расширении классов функций возникает в многомерных вариационных задачах, а с другой, — при исследовании волнового уравнения и уравнений гидродинамики. В этих задачах классы непрерывных функций оказались недостаточными.
В работе К.О. Фридрихса 1934 года[1] при исследовании минимума квадратичного функционала были введены классы функций, которые совпадают с пространствами Соболева — пространствами Соболева первого порядка, имеющими нулевой след на границе области. Однако в этих работах (так называемых прямых вариационных задачах) еще не было понимания того, что соболевские пространства второго порядка являются классом корректности для эллиптических краевых задач, соответствующих вариационным задачам. В 1936 году в основополагающей работе С.Л. Соболева[2] вводятся обобщенные решения основных видов линейных уравнений в частных производных второго порядка (волновое уравнение, уравнение Лапласа и уравнение теплопроводности) из классов функций, которые впоследствии были названы пространствами Соболева. В этих работах обобщенные решения понимаются как пределы классических решений, причем пределы рассматриваются в классах интегрируемых функций. Такое расширение понятий решений позволяет исследовать задачи с весьма общими правыми частями и коэффициентами уравнений.
В 1930-х годах начинается всестороннее исследование пространств Соболева. Наиболее важными были работы Ф. Реллиха о компактности вложения (теорема Реллиха-Гординга) и теоремы о вложении (теоремы Соболева и Соболева-Кондрашова). Эти теоремы позволили строить обобщенные решения для многих задач математической физики, а также установить связь с классами непрерывных функций.
В 1940-х годах О.А. Ладыженской было предложено определять обобщенные решения с помощью интегральных тождеств для функций из пространств Соболева. Использование интегральных тождеств оказалось крайне удобным подходом для исследования разрешимости и гладкости решений уравнений в частных производных. В настоящее время определение обобщенных решений через интегральные тождества является стандартным методом постановки задач.
Пространства Соболева имеют принципиальное значение не только в теории дифференциальных уравнений с частными производными, но и в вариационных задачах, теории функций, теории приближений, численных методах, теории управления и многих других разделах современной математики.
Свойства пространств Соболева
- Для любой области из следует, что .
- Если и , то .
- Если финитная в , то продолжение этой функции нулем принадлежит для любой .
- Пусть есть гладкое и взаимно однозначное отображение области на область и , тогда функция принадлежит пространству .
- Пространства Соболева являются сепарабельными пространствами.
- Если граница области удовлетворяет условию Липшица, то множество плотно в .
- Пространства при являются рефлексивными пространствами.
- Пространства являются гильбертовыми пространствами.
Пространства Соболева
В краевых задачах для дифференциальных уравнений в частных производных важную роль играют пространства функций из пространства Соболева, имеющих нулевые граничные условия. Эти пространства обозначаются через и вводятся как замыкания множества по норме пространства , где есть множество финитных в Q бесконечно дифференцируемых функций.
Пространства являются замкнутыми подпространствами в . При наличии определенной гладкости границы области Q это пространство совпадает с множеством функций из , имеющих нулевой след на границе области Q и нулевой след всех обобщенных производных вплоть до -го порядка.
Пространства Соболева во всем пространстве
Пространства Соболева можно определить с помощью преобразования Фурье. Для любой функции определено преобразование Фурье , причем, . Пространство Соболева определяется следующим образом:
- .
Пространства Соболева на торе
Пусть — -мерный тор. Пространство Соболева на торе , то есть -периодических по всем переменным функций, можно определить с помощью многомерных рядов Фурье:
- .
Пространства Соболева дробного порядка
Чтобы избежать путаницы, нецелочисленное k будем обычно обозначать как s, то есть или .
В случае 0<s<1 пространство состоит из функций , таких, что
Для нецелого s>1 положим , где — целая часть s. Тогда состоит из элементов таких, что для с нормой
Пространства Соболева отрицательного порядка
При рассмотрении обобщенных решений дифференциальных уравнений в частных производных естественным образом возникают пространства Соболева отрицательного порядка. Пространство определяется по формуле:
где штрих означает сопряженное пространство. При этом мы получаем, что пространства Соболева отрицательного порядка представляют собой пространство обобщенных функций. Так, например, пространство содержит дельта-функцию Дирака.
Теоремы вложения
Предполагая, что граница области удовлетворяет достаточным условиям гладкости, имеют место следующие теоремы вложения.
Теорема вложения Соболева
Если , то имеет место непрерывное вложение
- .
Здесь k предполагается целым и неотрицательным, а s может быть и дробным (пространства Соболева дробного порядка). Эта теорема играет важнейшую роль в теории функциональных пространств и дифференциальных уравнений в частных производных.
Теорема Реллиха-Кондрашова
Пусть область Q ограничена, , и , тогда: вложение вполне непрерывно.
С помощью теорем о компактности вложения пространств Соболева доказываются многие теоремы существования для дифференциальных уравнений в частных производных.
Показательные примеры
Пространства Соболева имеют существенные отличия от пространств непрерывно дифференцируемых функций.
Пример разрывной функции
Пусть — круг на плоскости. Функция принадлежит пространству , но имеет разрыв второго рода в точке .
Пространства Соболева в одномерном случае
Функции из пространства являются непрерывными, более того представимые по формуле:
- ,
где функция является обобщенной производной функции на .
Для любых двух функций из пространства произведение этих функций также принадлежит . Поэтому соболевское пространство первого порядка на отрезке является банаховой алгеброй.
Примечания
- ↑ Friedrichs K.O. Math. Ann. v. 109 (1934), 465-487.
- ↑ S. Soboleff, “Méthode nouvelle à résoudre le problème de Cauchy pour les équations linéaires hyperboliques normales”, Матем. сб., 1(43):1 (1936), 39–72
Литература
- Соболев С. Л., Некоторые применения функционального анализа в математической физике, М.: Наука, 1988
- Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.
- R.A. Adams, J.J.F. Fournier, 2003. Sobolev Spaces. Academic Press.
- Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1976
Категории:- Функциональный анализ
- Дифференциальные уравнения в частных производных
Wikimedia Foundation. 2010.