Проектор (алгебра)

Проектор (алгебра)

У этого термина существуют и другие значения, см. Проектор.

Преобразование P является ортогональной проекцией на прямую m.

В линейной алгебре и функциональном анализе линейный оператор P, действующий в линейном пространстве, называется прое́ктором (а также опера́тором проекти́рования и проекцио́нным опера́тором) если P² = P. Иногда проекционный оператор называют идемпотентным.

Несмотря на свою абстрактность, это определение обобщает идею построения геометрической проекции.

В качестве определения можно использовать следующее свойство проектора: линейный оператор $P:X\to X$ является проектором, если и только если существуют такие подпространства U и V пространства X, что X раскладывается в их прямую сумму, и при этом для любого элемента $u\in U$ имеем Pu = u, а для любого элемента $v\in V$ имеем Pv = 0. Подпространство U называется образом, а V — ядром проектора P.

В общем случае, разложение линейного пространства в прямую сумму неединственно. Поэтому, для подпространства V пространства X, вообще говоря, существует много проекторов, образ или ядро которого совпадает с V.

Свойства проекционных операторов

• Пусть I — тождественный оператор. Если P - проектор, то I − P - тоже проектор, причём kerI − P = ImP и ImI − P = kerP.
• В конечномерном нормированном пространстве все проекционные операторы непрерывны.
• Для банахова же пространства проекционный оператор будет непрерывным, если его образ замкнут, при этом ядро проектора тоже окажется замкнутым. Таким образом, непрерывный проектор задаёт разложение пространства в прямую сумму замкнутых подпространств: $X=\ker P \oplus \mathrm{Im}\, P$.
• Собственными значениями проектора могут быть только 0 и 1. Соответствующими собственными подпространствами проектора будут его ядро и образ.

Комбинации проекторов

Пусть P₁ и P₂ проекторы заданные на пространстве X и проектирующие на подпространства M₁ и M₂ соответственно. Тогда

• P₁ + P₂ — проектор на подпространстве $M_1\oplus M_2$, в том и только том случае, когда P₁P₂ = P₂P₁ = 0.
• P₁ − P₂ является проектором тогда и только тогда, когда P₁P₂ = P₂P₁ = P₂. P₁ − P₂ проектирует на подпространство $M_1\cap(X\ominus M_2)$.
• Если P₁P₂ = P₂P₁ = P, то P — проектор на подпространство $M_1\cap M_2$.

Примеры

• Ортогональная проекция (смотрите ниже) точек (x, y, z) пространства R³ на плоскость Oxy задаётся матрицей

$P = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}.$

Действует на точки она следующим образом:

$P \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ 0 \end{pmatrix}$

Преобразование T является косоугольной проекцией вдоль k на прямую m. U=m и V=k.

• Простейший неортогональный проектор осуществляет косоугольную проекцию точек плоскости на прямую. Он задаётся матрицей:

$P = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ \alpha & 1 \end{bmatrix}.$

Легко показать, что это действительно проектор:

$P^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ \alpha & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ \alpha & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ \alpha & 1 \end{bmatrix} = P.$

Проекция, задаваемая P, ортогональна, если и только если α = 0.

Ортогональный проектор

Если пространство X - гильбертово, то есть обладает скалярным произведением (а значит и понятием ортогональности), то можно ввести понятие ортогональный проектор. Ортогональный проектор — это частный случай проектора, когда выше упомянутые подпространства U и V ортогональны друг другу, иными словами, когда $\forall u\in U, \forall v\in V$ (u,v) = 0, или $u\cdot v =0$, или $u\perp v =0$. В этом случае проекция элемента $x\in X$ является ближайшим к нему элементом пространства U.

Литература

• Треногин В. А. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1980. — 495 с.
• Халмош П. Конечномерные векторные пространства = Finite-dimensional vector spaces. — М.: Физматгиз, 1963. — 264 с.