- Полная категория
-
Категория называется полной в малом, если в ней любая (малая) диаграмма имеет предел. Дуальное понятие — кополная в малом категория, то есть та, в которой любая малая диаграмма имеет копредел. Аналогично определяется конечная полнота и вообще α-полнота для любого регулярного кардинала α. Из них всех наиболее употребимой является полнота в малом, поэтому категории, полные в малом, называют просто полными. Заметим, что это не означает существование пределов вообще всех (не обязательно малых) диаграмм, так как такая категория с необходимостью была бы предпорядком.
Категория, являющаяся одновременно полной и кополной, называется биполной.
Примеры
- Следующие категории биполны:
- категория множеств ;
- категория групп ;
- категория колец ;
- категория абелевых групп ;
- категория топологических пространств ;
- категория компактных хаусдорфовых пространств ;
- категория малых категорий ;
- Следующие категории конечно биполны, но не являются полными или кополными:
- категория конечных множеств ;
- категория конечномерных векторных пространств над полем ;
- категория конечных групп ;
- Вообще, если — категория моделей некоторой алгебраической теории , то полна и кополна, так как она рефлективна в . Напомним, что алгебраическая теория допускает только условия на операции, являющиеся тождествами (никаких кванторов!). Скажем, категория полей не является категорией моделей алгебраической теории, поэтому предыдущее утверждение к ней неприменимо. Она не является полной или кополной.
- (теорема о пределе с параметром) Если категория полна (кополна), то категория полна (кополна) для любой категории , причём пределы вычисляются поточечно.
- Предпорядок полон, если в нём существует наибольший элемент и любое множество элементов имеет точную верхнюю грань. Аналогично, он кополон, если имеет наименьший элемент и любое множество элементов имеет точную нижнюю грань.
- Категория метрических пространств конечно полна, но не является полной и не имеет даже конечных копроизведений.
Свойства
- Если в категории существует терминальный объект, любая пара параллельных морфизмов имеет уравнитель и для любых двух объектов существует произведение, то категория является конечно полной. Если вдобавок существуют все малые произведения объектов, то категория полна в малом.
- Дуально, если в категории существует начальный объект, для любых двух параллельных морфизмов морфизмов существует коуравнитель и существуют копроизведения всех пар объектов, то категория является конечно кополной.
- (Фрейд) Если малая категория полна в малом, то она является предпорядком.
- Если категория полна в малом, то для любой малой категории любой функтор имеет правое расширение Кана по любому функтору , причём любое такое расширение Кана является поточечным. Утверждение явно следует из представления поточечного расширения Кана как предела.
Литература
- С. Маклейн Категории для работающего математика, — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 352 с — ISBN 5-9221-0400-4.
- Р. Голдблатт Топосы. Категорный анализ логики, — М.: Мир, 1983. — 487 с.
- F. Borceux Handbook of Categorical Algebra 1. Basic Category Theory. — Encyclopaedia of Mathematics and its Applications. — Cambridge: Cambridge University Press, 1994. — Т. 1. — 345 p. — ISBN 0 521 44178 1
Категория:- Теория категорий
- Следующие категории биполны:
Wikimedia Foundation. 2010.