Математическая структура

У этого термина существуют и другие значения, см. Структура (значения).

Математическая структура — название, объединяющее понятия, общей чертой которых является их применимость к множествам, природа которых не определена. Для определения самой структуры задают отношения, в которых находятся элементы этих множеств. Затем постулируют, что данные отношения удовлетворяют неким условиям, которые являются аксиомами рассматриваемой структуры. Построить аксиоматическую теорию данной структуры — это значит вывести логические следствия из аксиом структуры, отказавшись от каких-либо других предположений относительно самих рассматриваемых элементов, и, в частности, от всяких гипотез относительно их «природы».

Основные типы структур

Отношения, являющиеся исходной точкой в определении структуры, могут быть весьма разнообразными.

Важнейшим типом структур являются алгебраические структуры. Например, отношение, называемое «законом композиции», то есть отношение между тремя элементами, которое определяет однозначно третий элемент как функцию двух первых. Когда отношения в определении структуры являются «законами композиции», соответствующая математическая структура называется алгебраической структурой. Например, структуры лупы, группы, поля определяется двумя законами композиции с надлежащим образом выбранными аксиомами. Так сложение и умножение на множестве вещественных чисел определяют поле на множестве этих чисел.

Второй важный тип представляют структуры, определённые отношением порядка, то есть структуры порядка. Это отношение между двумя элементами $x,\;y$, которое чаще всего мы выражаем словами «$x$ меньше или равно $y$» и которое в общем случае обозначается как $xRy$. В этом случае не предполагается, что это отношение однозначно определяет один из элементов $x,\;y$ как функцию другого. В теории множеств часто вместо термина «структура порядка» используется термин «решётка».

Третьим типом структур являются топологические структуры (или топологии). В них находят абстрактную математическую формулировку интуитивные понятия окрестности, предела и непрерывности.

Иерархия структур математики

Группа математиков, объединённая под именем Николя Бурбаки, представили математику как иерархию структур, идущих от простого к сложному, от общего к частному. Иерархия по Бурбаки, описанная в статье «Архитектура математики» (1948), представляется трехуровневой:

1. Основные (порождающие) математические структуры. В центре находятся основные типы структур. Главнейшими, так сказать, порождающими структурами (фр. les structures-meres) из них являются
   • Алгебраические структуры;
   • Топологические структуры;
   • Структуры порядка.

   В каждом из этих типов структур присутствует достаточное разнообразие. При этом следует различать наиболее общую структуру рассматриваемого типа с наименьшим числом аксиом и структуры, которые получаются из неё в результате её обогащения дополнительными аксиомами, каждая из которых влечёт за собой и новые следствия.

2. Сложные математические структуры. В сложные (фр. multiples) структуры входят одновременно одна или несколько порождающих структур, но не просто совмещённые друг с другом, а органически скомбинированные при помощи связывающих их аксиом. Например, топологическая алгебра изучает структуры, определяемые законами композиций и топологической структурой, которые связаны тем условием, что алгебраические операции являются непрерывными (в рассматриваемой топологии) функциями элементов. Другим примером является алгебраическая топология, которая рассматривает некоторые множества точек пространства, определённые топологическими свойствами, как элементы, над которыми производятся алгебраические операции.
3. Частные математические структуры. В частных структурах элементы рассматриваемых множеств, которые до этого в общих структурах были совершенно неопределёнными, получают более определённую индивидуальность. Именно таким образом получают такие теории классической математики, как математический анализ функций вещественной и комплексной переменной, дифференциальную геометрию, алгебраическую геометрию.

Литература

• Бурбаки Н. «Архитектура математики» в книге Н. Бурбаки «Очерки по истории математики» М.: ИИЛ, 1963. стр. 245—259. или в сб. «Математическое просвещение» Вып. 5, 1960. стр. 99—112.;
• Первоисточник: N. Bourbaki «L’Architecture des mathematiques». Les grands courants de la pensee mathematiques (Cahiers du Sud), 1948. — p. 35—47.
• Nicholas Bourbaki. «The Architecture of Mathematics». The American Mathematical Monthly. Vol. 57. No. 4. (1950). p. 221—232.  (англ.)
• Бурбаки Н. Теория множеств. М.: Мир, 1965. 456с.

См. также

• Структура (дифференциальная геометрия)
• Алгебраическая структура
• Топологическая структура
• Частично упорядоченное множество