Двумерное нормальное распределение

Двумерный случайный вектор $\xi=(\xi_1, \xi_2)$ имеет нормальное распределение, если его плотность равна

$f(x) = \frac{1}{2\pi\sqrt{\mathrm{det} C}} \exp \left\{ -\frac{1}{2}(x-m)^T C^{-1} (x-m) \right\},$

где

$m=(\mathbf{E}\xi_1, \mathbf{E}\xi_2)$

— вектор математических ожиданий,

$C = ( \mathrm{Cov}_{ij} ) = \left( \begin{matrix} \mathrm{Cov}_{11}&\mathrm{Cov}_{12}\\ \mathrm{Cov}_{21}&\mathrm{Cov}_{22} \end{matrix} \right)$

— ковариационная матрица.

Плотность двумерного нормального распределения записывается также в виде

$f(x_1,x_2) = \frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}} \times$

$\times \exp \left\{ -\frac{1}{2(1-\rho^2)}\left[ \frac{(x_1-m_1)^2}{\sigma_1^2}-\rho \frac{2(x_1-m_1)(x_2-m_2)}{\sigma_1\sigma_2} +\frac{(x_2-m_2)^2}{\sigma_2^2}\right] \right\},$

где

$\mathrm{det} C = \mathrm{Cov}_{11} \mathrm{Cov}_{22}-\mathrm{Cov}_{12}^2 = \sigma_1^2\sigma_2^2 (1-\rho^2),$

— определитель ковариационной матрицы,

$\rho = \frac{\mathrm{Cov}_{12}}{\sigma_1\sigma_2} = \frac{\mathbf{E}(\xi_1-m_1)(\xi_2-m_2)}{\sigma_1\sigma_2}$

— коэффициент корреляции случайных величин $\xi_1$ и $\xi_2$.

Многомерное нормальное распределение

Распределение случайного вектора $\xi=(\xi_1, \ldots, \xi_k)$ в $\mathbb{R}^k$ или совместное распределение случайных величин $\xi_1, \ldots, \xi_k$ называется многомерным нормальным, если при любом фиксированном $a \in \mathbb{R}^k$ скалярное произведение

$(a,\xi) = \sum_{i=1}^k a_i\xi_i$

имеет одномерное нормальное распределение (в том числе и вырожденное одномерное: $(a,\xi)=\mathrm{const}$).

Многомерный случайный вектор $\xi=(\xi_1, \ldots, \xi_k)$ имеет нормальное распределение, если его плотность равна

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{(2\pi)^k \ \mathrm{det} C}} \exp \left\{ -\frac{1}{2}(x-m)^T C^{-1} (x-m) \right\},$

где

$m=(\mathbf{E}\xi_1, \ldots, \mathbf{E}\xi_k)$

— вектор математических ожиданий,

$C = ( \mathrm{Cov}_{ij} ) = \left( \begin{matrix} \mathrm{Cov}_{11}&\ldots&\mathrm{Cov}_{1k}\\ \ldots&\ldots&\ldots\\ \mathrm{Cov}_{k1}&\ldots&\mathrm{Cov}_{kk} \end{matrix} \right)$

— ковариационная матрица.

См.также

• Нормальное распределение