Преобразование Кельвина

Преобразова́ние Ке́львина применяется при решении задач Дирихле для уравнения Лапласа в неограниченных областях. Преобразованием Кельвина функции u(x) является функция

|OP| = x, |OP '| = x* — симметричные относительно сферы точки.

$u^*(x^*)=\left ( \frac{R}{|x^*|}\right ) ^{n-2}u\left ( \frac{R^2}{|x^*|^2}x^*\right ),$

где точки x и x* симметричны относительны сферы с радиусом R: $|x||x*|=R^2$, а n — размерность пространства.

Преобразование Кельвина интересно тем, что оно сохраняет гармоничность функции, при этом выполняется следующее равенство:

$\Delta u^*(x^*)=\frac{R^{n+2}}{|x^*|^{n+2}}(\Delta u)^*(x^*).$

Литература

В.С. Владимиров, В.В. Жаринов. Уравнения математической физики. — М.: Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5