Тождество Вальда

Тождество Вальда определяет формулу для вычисления математического ожидания для случайных сумм. Она названа в честь венгерского математика Абрахама Вальда.

Пусть $X_1,...,X_N$ — независимые одинаково распределенные случайные величины. $N$ — также является случайной величиной имеющей дискретное распределение и принимающая положительные целые значения. Далее $X_i$ и $N$ должны иметь конечное математическое ожидание и $N$ должно быть независимым от $X_i$. Тогда

$\operatorname{E}\left(\sum_{i=1}^{N}X_i\right)=\operatorname{E}(N)\operatorname{E}(X)$