Нерв покрытия

Нерв покрытия — конструкция в топологии, дающая симплициальный комплекс по произвольному покрытию.

Понятие нерва покрытия было введёно Александровым ^[1].

Определение

Пусть $\{W_\alpha\}$ — конечное покрытие топологического пространства $X$. Нерв покрытия $\{W_\alpha\}$ — это абстрактный симплициальный комплекс $N$, множество вершин которого отождествлено с множеством индексов покрытия, при этом $N$ содержит симплекс с вершинами $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n$ тогда и только тогда, когда

$\bigcap_{i=1}^nW_{\alpha_i}\not=\varnothing$.

Свойства

• (теорема о нерве) Если $X$ триангулируемо и $\{W_\alpha\}$ — конечное покрытие замкнутыми множествами, причём все непустые пересечения стягиваемы, то нерв покрытия гомотопически эквивалентен $X$.
  • В частности, отсюда следует теорема Хелли.

См. также

• Когомологии Чеха

Литература

1. ↑ Paul Alexandroff Über den allgemeinen Dimensionsbegriff und seine Beziehungen zur elementaren geometrischen Anschauung, — Mathematische Annalen 98 (1928), стр. 617—635.

В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка установлена 14 мая 2011.