Синглетон (математика)

У этого термина существуют и другие значения, см. Синглетон.

В математике синглетоном называется множество с единственным элементом. Например, множество {0} является синглетоном.

Свойства

Заметим, что множество {{1, 2, 3}} также является синглетоном: единственный элемент является множеством (которое само по себе не синглетон).

Множество является синглетоном тогда и только тогда, когда его кардинальное число равно 1. В теоретико-множественном построении натуральных чисел, число 1 определено как синглетон {0}.

В аксиоматической теории множеств, существование синглетонов появляется вследствие аксиомы о пустом множестве и аксиомы спаривания: первая из них вводит понятие пустого множества {}, а вторая, применённая к паре {} и {}, вводит понятие синглетона {{}}.

Если A является любым множеством и S является любым синглетоном, тогда существует одна и только одна функция из A в S, функция, которая отображает каждый элемент множества A в единственный элемент множества S.

Применения

В топологии, пространство является T1-пространством, если и только если каждый синглетон замкнут.

Структуры, построенные на синглетонах часто служат конечными объектами или нулевыми объектами различных категорий:

• Выражение выше показывает, что множества-синглетоны точно являются конечными объектами в категории Множество, состоящей из множеств. Все другие множества не являются конечными.
• Любой синглетон может быть преобразован в топологическое пространство ровно одним способом (все подмножества открыты). Эти синглетонные топологические пространства являются конечными объектами в категории топологических пространств и непрерывных отображений. Других конечных пространств в этой категории нет.
• Любой синглетон может быть преобразован в группу ровно одним способом (единственный элемент служит нейтральным элементом). Такие синглетонные группы являются нулевыми объектами в категории групп и групповых гомоморфизмов. Других конечных групп в этой категории нет.

См. также

• Класс (теория множеств)