Порядок Шарковского

Порядок Шарковского — упорядочение натуральных чисел, связанное с исследованием периодических точек динамических систем на отрезке или на вещественной прямой. А именно, скажем, что $a\to b$, если динамическая система на отрезке или прямой, имеющая точку наименьшего периода a, имеет и точку наименьшего периода b. Теорема Шарковского утверждает, что таким образом задаётся полный порядок на множестве натуральных чисел, устроенный следующим образом:

→ 3 → 5 → 7 → 9 → 11 → 13 → …

→ 3*2 → 5*2 → 7*2 → 9*2 → 11*2 → 13*2 → …

→ 3*2² → 5*2² → 7*2² → 9*2² → 11*2² → 13*2² → …

…………………………………

→ 2ⁿ → 2^n-1 → … → 2⁵ → 2⁴ → 2³ → 2² → 2 → 1.

В верхней строчке выписаны в порядке возрастания все нечетные числа, кроме 1, во второй строке — произведения нечетных чисел (кроме 1) на 2, в третьей — произведения нечетных чисел на 2², в k-й строке сверху — произведения нечетных чисел на $2^{k-1}$. Наконец, в последней (нижней) строке представлены чистые степени двойки.

В частности, число 3 — наибольшее в смысле этого упорядочения, поэтому наличие точки периода 3 влечёт за собой наличие точки с любым периодом. Часто этот частный случай сокращённо формулируют как период 3 влечёт хаос (стоит отметить, что в случае наличия точки периода 3 можно утверждать «хаотичность» системы и в других смыслах, — так, её энтропия будет положительна).

Период 3 влечёт хаос

Случай периодической точки периода 3 — наиболее содержательный. В этом случае, найдутся различные точки $a,b,c$, для которых

$f(a)=b, \quad f(b)=c, \quad f(c)=a.$

Можно без ограничения общности считать, что $a<b<c$.

Тогда для отрезков $I_0=[a,b]$ и $I_1=[b,c]$ выполнено

$f(I_0)\supset I_1, \quad f(I_1)\supset I_0\cup I_1.$

Отсюда несложно вывести, что для любого конечного слова $w=w_0 w_1 \dots w_{k-1}$, составленного из нулей и единиц и не содержащего двух нулей подряд, найдётся такой интервал $I_w$, что

$f^j(I_w) \subset I_{w_j}, \quad j=1,\dots,k-2,$

$f^{k-1}(I_w)=I_{w_{k-1}}.$

Отсюда уже несложно построить периодическую точку любого периода $k$: достаточно взять в алфавите из нулей и единиц любое периодическое слово $\omega=(w), \quad |w|=k$ наименьшего периода k без двух нулей подряд. Для соответствующего ему отрезка $I_w$ выполнено

$f^{k}(I_w)\supset I_w,$

поэтому в этом отрезке найдётся периодическая точка соответствующего периода. Наконец, в терминах символической динамики (для разбиения $I_0$, $I_1$, дополнение) её судьба это последовательность $\omega$, у которой k является наименьшим периодом, поэтому k является наименьшим периодом и для построенной точки.

Этот раздел не завершён. Вы поможете проекту, исправив и дополнив его.

История

Исследуя унимодальные отображения, в частности, квадратичное отображение, украинский математик А. Н. Шарковский в 1964 году обнаружил, что в области «хаоса» на соответствующей бифуркационной диаграмме имеются так называемые «окна периодичности» — узкие интервалы значений параметра $r\,$ (см. квадратичное отображение), в которых существуют периодические движения; им и соответствуют переходы в порядке Шарковского. В частности, двигаясь в нижней строке против направления стрелок от 1, мы проходим каскад удвоений периодов Фейгенбаума.

Этот раздел не завершён. Вы поможете проекту, исправив и дополнив его.

Литература

• А. Н. Шарковский, С. Ф. Коляда, А. Г. Спивак, В. В. Федоренко. Динамика одномерных отображений. Киев: Наукова думка, 1989. 216 с.
• Ю. А. Данилов. Лекции по нелинейной динамике. Элементарное введение. Москва: Постмаркет, 2001. 184 с.